負の二項分布の連続拡張パーセント点

負の二項分布の連続拡張パーセント点

下側Pまたはinclusive上側Q、成功回数k、成功確率pから、参照仕様のBeta形状連続拡張パーセント点xを求めます。

入力

左側の下側累積P、または右側の上側累積Qを選びます。

下側Pまたはinclusive上側Qの内部確率です。1e-15以上1−1e-15以下へ限定します。

停止条件となる成功回数です。1以上100,000以下の整数を入力します。

各独立試行で共通の成功確率です。1e-12以上1以下へ限定します。

使い方

  1. 下側Pまたはxを含む上側Qを選び、累積確率、成功回数k、成功確率pを入力します。
  2. 結果は失敗回数の整数PPFではなく、参照ページと同じBeta形状の連続拡張実数解として読みます。
  3. 実際の離散しきい値が必要なら、用途に応じて床・天井を勝手に選ばず、整数CDFの定義で別途判定します。

計算式・考え方

下側はI_p(k,x+1)=P、上側inclusiveはI_(1−p)(x,k)=Qをxについて有界二分法で解きます。xはBeta関数の形状母数として実数へ連続拡張されます。下側P≤p^kでは参照仕様どおりx=0へclampします。

注意事項

  • 重要な規約として、この参照ページはSciPy nbinom.ppfが返す最小整数とは異なります。既定値P=0.3、k=4、p=0.4では整数CDFはx=3で約0.289792、x=4で約0.405914ですが、本ページはその間の連続解x≈3.0883348124379を返します。結果ラベルにも『連続拡張』『実数』を明記し、整数失敗回数と誤認しないようにしています。
  • 下側式はBetaの第2形状x+1、上側式は第1形状xを連続化します。上側QはX≥xの参照規約から導かれ、既定値Q=0.3ではx≈7.9528399108419です。通常のsfがX>xを表す実装とは一点の位置が異なります。
  • 下側CDFのx=0値はp^kです。指定Pがこれ以下なら非負領域に内部解がないため、参照ページと同じく0へclampします。負の値へ外挿せず、P=p^kでも0を返します。上側はQが増えるほど解が0へ近づく反対向きの単調性を使います。
  • NIST DLMFのI_x(a,b)の形状連続性と対称関係、SciPy nbinomが定義する離散PPFを照合し、両者が同じものではないことを本文とテストで固定しました。解は0から1,000,000までで挟み、160回以内に収束しなければ明示エラーにします。
  • 下側累積Pと上側累積Qの向きを入力前に確認してください。連続な逆カイ二乗分布ではP=Pr[X≤x]、Q=Pr[X>x]でP+Q=1です。離散な負の二項分布と超幾何分布では参照ページに合わせ、P=Pr[X≤x]、Q=Pr[X≥x]とxを両方へ含めます。このため離散ページではP+Q=1+f(x)であり、Qを単純な1−Pへ置き換えると一点分だけずれます。
  • 極端な裾を保つため、上側Qは下側Pを1から引くだけの実装に固定していません。正規化不完全Gamma・Beta関数の適切な側、または支持域の短い側を対数空間で直接計算します。Pが表示上1へ丸まっても、Qに表現可能な小さい正数が残ることがあります。表示値だけからゼロ確率と断定せず、必要なら別の高精度実装とも照合してください。
  • 各ページは分布と母数を入力済みとみなす数値計算器です。観測データがその分布に従うか、標本抽出が独立か、復元抽出か非復元抽出か、成功の定義が一貫しているかを自動判定しません。検定、品質保証、監査、研究報告へ使う場合は、確率モデルの選択、母数推定、片側・両側、丸め規則を分析計画と使用ソフトの文書で別途確認してください。
  • 計算範囲は有限doubleと有界反復で安全に処理できる値へ限定しています。入力上限は数学的定義域の終端ではありません。反復上限内で解を挟めないpercent-point、有限値で表現できない端点、整数であるべき回数への小数入力は、近似値や暗黙の丸めへ置換せずエラーにします。失敗時は入力範囲と確率方向を見直してください。
  • 表示は最大15有効桁です。Lanczos近似、連分数、級数、対数和、二分法の各段階で倍精度の丸めが生じるため、末尾桁まで真値を保証するものではありません。報告書には分布名だけでなく、母数の意味、P/Qの包含規約、入力値、確認日、採用した表示桁数を残すと、他ソフトとの比較で規約差を切り分けやすくなります。
  • 計算は許可制ASTと共有runtime 1.8だけでブラウザ内実行します。eval、new Function、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocketを使わず、入力値や結果を送信・保存しません。WordPressへの書込み、下書き作成、公開処理も行いません。ページを閉じれば入力状態は残らないため、必要な結果は利用者自身の管理下で記録してください。
  • 参照ページ、NIST Digital Library of Mathematical Functions、NIST資料、SciPy公式リファレンスは2026年7月13日に照合しました。本waveは一組の入力からscalarを返す5ページだけを対象とします。範囲を繰り返し走査するグラフ版や表版は、一結果へ曖昧に縮約せず対象外としています。
  • 指定分布・母数に基づく数学的結果です。モデル適合、母数推定、検定・監査上の結論を保証しません。

よくある質問

結果が3.088…のような小数になるのは誤りですか？

誤りではありません。参照仕様は不完全Beta関数の形状を実数へ連続拡張した解です。実際の失敗回数そのものは整数です。

SciPyのppfと同じですか？

同じではありません。SciPyの離散ppfはCDFが指定値以上になる最小整数を返します。

Pがp^kより小さい場合はどうなりますか？

非負の連続拡張領域に解がないため、参照仕様どおり0へclampします。

入力した評価点、確率、自由度、成功回数、標本数、母数はこの端末内だけで処理されます。個票、氏名、製品番号などの識別情報は入力せず、分布計算に必要な集計値だけを使用してください。