ガウス型求積法を選んで数値積分を計算

使い方

1. 8方式から一つを選び、通常の非重み付き被積分関数f(x)と2〜100の次数nを入力します。
2. 有限区間方式では異なる端点a、bを指定し、HermiteとLaguerreでは表示された自然領域を使います。
3. Laguerreではα、Jacobiではαとβを指定し、他方式でも各欄を有限な許可範囲に保ちます。
4. 二つの推定行と差を確認し、別次数、区間分割、別方式、解析値との比較で必要精度を判断します。

計算式・考え方

有限区間はx=(a+b)/2+(b−a)t/2で写像します。通常積分はI_n≈ΣW_i f(x_i)。Kronrodだけは埋込みG行とK行を並べ、差を指標として表示します。

注意事項

• 数値積分ページは8方式を一貫して『通常の非重み付き積分』として扱います。Chebyshev、Laguerre、Hermite、Jacobiでは入力したf(x)を自然重み付き関数と解釈せず、各分点の主重みから自然重みを除いた換算係数でΣW_i f(x_i)を計算します。専用ページにある重み付きfモードを隠れて継承しないため、方式を変えても式の意味はf(x)のままです。
• 有限区間を使うのはLegendre、Chebyshev第1種・第2種、Jacobi、Lobatto–Legendre、Kronrodです。Hermiteは∫_{−∞}^{∞}f(x)dx、Laguerreは∫_0^∞f(x)dxを計算し、a、bは無視します。たとえばHermiteでexp(−x²)を入力すれば√π、Laguerreでexp(−x)を入力すれば1が基本検算になります。収束しない定数1を自然領域方式へ入れて有限値が出ても、積分の存在を意味しません。
• 通常のGauss族では選択次数nと一つ前のn−1を並べ、絶対変化と相対変化を表示します。n=2では安全な最小次数として1行だけです。Jacobiのn=2だけはn=1公式も明示的に構成します。二行の差は次数を一段変えた感度です。同じ誤差項を共有する可能性があるため、差が小さいことを真の誤差が小さい証明として扱いません。
• Kronrodでは一つ前のK次数を生成せず、選択したK15〜K61に埋め込まれたG7〜G30を第1行、K側を第2行に表示します。第2行の絶対変化はG/K推定値の絶対差、相対変化はK値を基準にした差です。これはQUADPACKの適応制御が返すabserrではなく、resabsやresasc、区間再分割を含まない生の埋込み差です。
• 有限区間内に不連続点、極、尖点がある場合は、既知の位置で区間を分けることを優先します。分点が極と一致すれば非有限値として停止しますが、どの分点にも一致しなければ発散積分でも有限値を表示し得ます。Cauchy主値、可積分特異点、複素枝を自動推測しません。端点特異性には変数変換やTanh–Sinh、無限区間の遅い減衰には別の打切り・誤差解析も比較してください。
• 逆向き区間a>bでは有限区間方式の結果が符号反転します。定数1なら推定値はb−a、対称区間の奇関数なら0付近になることが写像の基本検算です。HermiteとLaguerreはa、bを計算に使わないため逆向き入力でも自然領域の結果は変わりません。この違いを画面の方式説明で確認し、結果と一緒に実際の自然領域を保存してください。
• この方式選択計算機は、Legendre、Chebyshev第1種・第2種、Laguerre、Hermite、Jacobi、Lobatto–Legendre、Kronrodの8方式を一つの入力画面で比較するためのハブです。各方式は同じ名前の別アルゴリズムへ曖昧に丸めず、個別ページで検証済みの分点・重み生成処理をそのまま呼び出します。方式を変えたときに式や次数を同条件で試せますが、自然な積分区間と重み関数まで同じになるわけではありません。
• Legendreは重み1の標準的な有限区間則です。Chebyshev第1種は1/√(1−t²)、第2種は√(1−t²)、Jacobiは(1−t)^α(1+t)^βを自然な重みとします。Laguerreはt^αe^(−t)を伴う[0,∞)、Hermiteはe^(−t²)を伴う実数全体が自然領域です。Lobatto–Legendreは有限区間の両端を分点に含み、Kronrodは埋込みGauss則と対にした有限区間則です。
• 次数nは2から100までの整数に制限します。ただしKronrodだけはQUADPACK一次ソースで係数を照合できるK15、K21、K31、K41、K51、K61の6種類だけです。K側の点数15、21、31、41、51、61を次数欄へ入力し、それ以外の奇数や偶数をKronrod係数として自動生成しません。未検証の係数を便利さのために補間する機能でもありません。
• αとβは−0.99以上100以下の有限値へ共通に有界化しています。Laguerreではαだけ、Jacobiではαとβを使い、その他の方式では数式へ入りません。それでも未使用欄を無検証のまま残さず、方式切替後に古いNaNや無限大が突然有効になることを防ぐため常に入力検査します。Jacobiではα+β=−1となる組も、漸化係数の共通因子を解析的に約分して0/0を避けています。
• 有限区間方式では標準変数t∈[−1,1]をx=(a+b)/2+(b−a)t/2へ写像します。a>bは向き付き積分として許可し、半区間幅が負になるため推定値も符号反転します。a=bは有限区間方式では拒否します。HermiteとLaguerreでは自然領域がそれぞれ(−∞,∞)と[0,∞)に固定され、画面上のa、bは計算に使いませんが、切替時の安全のため有限かつ絶対値・幅1,000,000以下かは確認します。
• 計算はIEEE 754 binary64で行い、表示とTSVコピーは最大12有効桁です。次数を増やしたから常に誤差が単調減少するとは限りません。関数値の相殺、端点特異性、巨大な換算重み、急な振動、丸め誤差により隣接次数が偶然近づいたり離れたりします。表示行の差は収束の参考であり、真値誤差、証明付き上界、信頼区間ではありません。
• 関数式を扱うページは変数x、定数pi・π・e、四則演算、べき乗、丸括弧と許可済み初等関数だけを有界パーサーで処理します。evalやnew Functionは使わず、200文字、128トークン、32段の上限を設けています。未知の名前、プロパティ参照、配列、代入、セミコロン、スクリプト断片を受理せず、分点で0除算や定義域外が生じれば数値を推測せず停止します。
• 8方式の選択、分点生成、関数評価、集計、表描画、TSVコピーはすべて利用者のブラウザ内で完結します。入力した式、端点、次数、α、β、計算結果をサーバーや外部APIへ送信・保存しません。CDNや実行時fetchにも依存しないため、サーバー側で重い数値処理を行わず、利用者端末の有限なCPUとメモリだけを使います。
• 方式比較では、同じnが同じ関数評価回数や同じ精度を意味しない点に注意してください。Lobattoは端点を含み、KronrodはK点と埋込みG点を同じ評価集合で使い、他のGauss則は自然重みに直交する多項式の零点を使います。多項式正確度も自然な重み付き積分について定義されるため、通常積分用へ重みを換算した結果を方式名だけで優劣付けしないでください。
• 式、係数、自然領域、パラメータ条件は2026年7月13日にNIST Digital Library of Mathematical Functionsの直交多項式・Gauss求積の記述と、Netlib QUADPACKのdqk15〜dqk61を照合しました。実装では分点の昇順、対称性、正の主重み、重み総和、既知多項式モーメント、PythonとJavaScriptの数値一致を検査しています。本ページは教育・実装確認・一般的な試算向けで、任意精度計算や安全判断の保証を提供しません。
• binary64・最大12有効桁の固定求積です。次数差やG/K差は真値誤差の保証ではありません。

よくある質問