Jacobiシーディー関数 cd(u,k) 計算

使い方

1. −100≤u≤100と−1≤k≤1を入力します。canonical既定値はu=4、k=0.7です。
2. 入力条件を確認して「計算する」を押し、無次元の結果を確認します。
3. 別ソフトと比較するときは、このページのkを平方してparameter mへ換算します。
4. 結果をコピーするときは関数名、入力、principal branchまたは周期規約も一緒に記録します。

計算式・考え方

cd(u,k)=cn(u,k)/dn(u,k)=cos(am)/√(1−k²sin²(am))。

注意事項

• cdはcnとdnの比で、uについて偶関数です。dnが正なので符号はcnと一致します。
• k=0ではcos u、|k|=1ではcn=dn=sech uの比として恒等的に1です。
• k=1で小さいsech同士を数値的に割らず、厳密な極限1を返して0/0を防ぎます。
• Jacobi補助関数を用いた座標変換や恒等式の一点検算に使えます。
• cd×dn=cn、cd(0,k)=1、cd(u,0)=cos u、cd(u,1)=1を確認します。
• Jacobi cd(u,k)について: このページのkはJacobi楕円関数のmodulusです。SciPy、Mathematica、表計算アドインなどがparameter mを取る場合はm=k²を渡します。k=0.8とm=0.8は同じ条件ではなく、このページのk=0.8はm=0.64に対応します。数値比較では引数順と平方の有無を記録してください。
• Jacobi cd(u,k)について: direct関数はNIST DLMF §22.20(ii)の算術幾何平均AGMを使います。a₀=1、b₀=√(1−k²)から算術平均・幾何平均・半差を更新し、最大32回で停止します。収束後は振幅を逆下降し、snとcnを正弦・余弦、dnを恒等式の正の平方根から求めます。反復失敗を近似値へ置き換えません。
• Jacobi cd(u,k)について: 計算は入力から結果表示まで利用端末のJavaScriptだけで完結します。外部API、サーバー計算、fetch、動的コード評価を使いません。uは−100〜100、kはdirectで−1〜1に制限し、binary64で有限かつ再現しやすい範囲を明示します。表示は最大15桁ですが内部丸めは二進数です。
• Jacobi cd(u,k)について: 基本恒等式sn²+cn²=1、dn²+k²sn²=1を使うと三つのprincipal関数を相互検算できます。sd=sn/dn、nd=1/dn、cd=cn/dnも同じtripletから計算します。別々の近似式で値を作らないため、比関数とprincipal関数の整合が保たれます。dnは実数域で正です。
• Jacobi cd(u,k)について: k=0ではsn=sin u、cn=cos u、dn=1、am=uです。|k|=1ではsn=tanh u、cn=dn=sech u、sd=sinh u、nd=cosh u、cd=1、amはGudermannianになります。端点を一般式へ無理に代入せず、安定な三角・双曲関数の特別処理で評価します。
• Jacobi cd(u,k)について: Jacobi楕円関数は単振り子、非線形波、楕円曲線、積分の逆変換に現れます。この結果は無次元の関数値であり、物理量の単位、初期条件、周期4Kまたは2K、採用した振幅規約を自動で決めません。設計や安全判断では元のモデルと誤差条件を別に確認してください。
• Jacobi cd(u,k)について: 検算はcanonical既定値、u=0、k=0、k=1、符号反転の順で行います。次に別ライブラリへm=k²を渡し、絶対誤差と相対誤差を比較します。末尾数桁だけの差は丸めで起こり得ますが、符号、周期、principal branchが違う場合は規約差です。関数名・uまたはx・k・確認日を保存してください。
• Jacobi cd(u,k)について: 定義、恒等式、inverseのprincipal range、AGM計算法はNIST Digital Library of Mathematical Functions §22.2、§22.6、§22.15、§22.16、§22.20を2026年7月13日に照合しました。複素引数、|k|>1の変換、多価逆関数の全解、無限大の端点はこの有限実数scalar waveでは扱いません。
• Jacobi cd(u,k)について: 楕円関数の周期は普通の正弦・余弦の二πではなく、母数から決まる完全楕円積分Kを基準にします。エスエヌとシーエヌの実周期は四K、ディーエヌの実周期は二Kです。したがって、入力uの差が同じでもkが変われば位相の進み方は変わります。周期を使って値を折り返すときは、別ページで求めたKに同じkを使ったことを確認します。逆関数は周期ごとに無数の解を持つため、このwaveでは連続した一つの主枝だけを選びます。主枝の範囲を越えた他の解が必要な場合は、返された値へ周期と対称性を数学的に適用し、どの整数周期を選んだかを記録してください。
• Jacobi cd(u,k)について: 数値の品質確認では、通常点だけでなくゼロ、許可端点、拒否端点、母数ゼロ、母数一を分けて試します。正関数では二つの基本恒等式の残差、商関数では元の関数との積、逆関数では正関数へ戻した往復誤差を確認します。特異点に近い逆関数は結果が大きくなり、入力の末尾一桁が大きな差へ増幅されます。その場合は結果の桁数をむやみに信頼せず、端点までの距離と条件数を併記します。画面が値を返したことだけを正しさの根拠にせず、独立した高精度計算または公式の特殊値と照合し、許容誤差を用途に応じて決めてください。
• Jacobi cd(u,k)について: 結果を教材や記事へ転載するときは、記号だけでなく『Jacobi楕円関数』『母数k』『実数主枝』を明記します。同じsnやdnという略号が別分野の量を表す場合があるため、式と入力範囲を添えると読み手が規約を復元できます。計算日と使用した精度も残すと、将来の再検算が容易になります。
• 有限な通常実数値とprincipal branchの学習・検算用です。複素値、無限値、多価解全体は扱いません。

よくある質問