超幾何分布の確率質量・下側P・上側Q

超幾何分布の確率質量・下側P・上側Q

母集団N中の特定要素Mから非復元でn個を抽出し、標本内特定要素数xの確率質量、両側累積、平均を求めます。

入力

標本に含まれた特定要素数です。支持域max(0,n−(N−M))からmin(n,M)までに制約します。

母集団から非復元で抽出する個数です。0以上N以下の整数にしてください。

母集団Nに含まれる特定要素の個数です。0以上N以下の整数にしてください。

有限母集団の総数です。0以上100,000以下の整数に限定します。

使い方

  1. 標本で観測した特定要素数x、標本数n、母集団内特定要素数M、母集団総数Nをすべて整数で入力します。
  2. 支持域を満たすことを確認し、ちょうどxの質量f、x以下のP、x以上のQ、平均を読み分けます。
  3. 抽出が非復元で、母集団のNとMが固定済みというモデルが実際の抜取手順に合うか確認します。

計算式・考え方

f(x)=C(M,x)C(N−M,n−x)/C(N,n)、P=Σ(t=lower..x)f(t)、Q=Σ(t=x..upper)f(t)、E[X]=nM/Nです。支持域はlower=max(0,n−(N−M))、upper=min(n,M)です。

注意事項

  • 超幾何分布は有限母集団から戻さずに抽出するモデルです。一度選んだ要素を戻す独立Bernoulli試行では成功確率が一定の二項分布になります。標本割合n/Nが無視できないときは非復元による依存が効くため、二項近似へ自動置換せずN、M、nを明示します。
  • 支持域上端min(n,M)だけでなく下端max(0,n−(N−M))も重要です。たとえばN=10、M=3、n=8なら非特定要素は7個しかなく、標本には少なくとも1個の特定要素が必要です。x=0は組合せ係数を0扱いして続行せず、入力矛盾として説明付きで拒否します。
  • SciPy公式リファレンスのhypergeomは引数記号がM=総数、n=特定要素数、N=標本数という別配置です。本ページは参照ページのx,n,M,N順を維持します。照合時はSciPyのhypergeom.pmf(x, N, M, n)へ並べ替える必要があります。
  • NIST DataplotのHypergeometric Probability/Percent Point資料とSciPyの支持域・質量式を照合しました。確率はlog combinationと隣接項比で計算し、Pとinclusive Qは平均に対して短い側を直接足すため、巨大な組合せ数を通常整数へ展開しません。
  • N=n=M=x=0は空の母集団から空標本を取る退化ケースとしてX=0を確率1で返し、平均を0とします。通常の統計用途ではN>0を使いますが、参照入力域の整数端点を未定義の0/0へせず、一貫した組合せ上の境界として扱います。
  • 下側累積Pと上側累積Qの向きを入力前に確認してください。連続な逆カイ二乗分布ではP=Pr[X≤x]、Q=Pr[X>x]でP+Q=1です。離散な負の二項分布と超幾何分布では参照ページに合わせ、P=Pr[X≤x]、Q=Pr[X≥x]とxを両方へ含めます。このため離散ページではP+Q=1+f(x)であり、Qを単純な1−Pへ置き換えると一点分だけずれます。
  • 極端な裾を保つため、上側Qは下側Pを1から引くだけの実装に固定していません。正規化不完全Gamma・Beta関数の適切な側、または支持域の短い側を対数空間で直接計算します。Pが表示上1へ丸まっても、Qに表現可能な小さい正数が残ることがあります。表示値だけからゼロ確率と断定せず、必要なら別の高精度実装とも照合してください。
  • 各ページは分布と母数を入力済みとみなす数値計算器です。観測データがその分布に従うか、標本抽出が独立か、復元抽出か非復元抽出か、成功の定義が一貫しているかを自動判定しません。検定、品質保証、監査、研究報告へ使う場合は、確率モデルの選択、母数推定、片側・両側、丸め規則を分析計画と使用ソフトの文書で別途確認してください。
  • 計算範囲は有限doubleと有界反復で安全に処理できる値へ限定しています。入力上限は数学的定義域の終端ではありません。反復上限内で解を挟めないpercent-point、有限値で表現できない端点、整数であるべき回数への小数入力は、近似値や暗黙の丸めへ置換せずエラーにします。失敗時は入力範囲と確率方向を見直してください。
  • 表示は最大15有効桁です。Lanczos近似、連分数、級数、対数和、二分法の各段階で倍精度の丸めが生じるため、末尾桁まで真値を保証するものではありません。報告書には分布名だけでなく、母数の意味、P/Qの包含規約、入力値、確認日、採用した表示桁数を残すと、他ソフトとの比較で規約差を切り分けやすくなります。
  • 計算は許可制ASTと共有runtime 1.8だけでブラウザ内実行します。eval、new Function、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocketを使わず、入力値や結果を送信・保存しません。WordPressへの書込み、下書き作成、公開処理も行いません。ページを閉じれば入力状態は残らないため、必要な結果は利用者自身の管理下で記録してください。
  • 参照ページ、NIST Digital Library of Mathematical Functions、NIST資料、SciPy公式リファレンスは2026年7月13日に照合しました。本waveは一組の入力からscalarを返す5ページだけを対象とします。範囲を繰り返し走査するグラフ版や表版は、一結果へ曖昧に縮約せず対象外としています。
  • 指定分布・母数に基づく数学的結果です。モデル適合、母数推定、検定・監査上の結論を保証しません。

よくある質問

二項分布との違いは何ですか？

超幾何分布は非復元抽出で試行が独立ではありません。二項分布は一定成功確率の独立試行です。

なぜxに下限があるのですか？

非特定要素がN−M個しかないため、大きな標本では不足分だけ特定要素を必ず含むからです。

上側Qは1−Pですか？

いいえ。本ページのQはX≥xでxを含みます。1−P(X≤x−1)に相当し、P(X≤x)との和は1+f(x)です。

入力した評価点、確率、自由度、成功回数、標本数、母数はこの端末内だけで処理されます。個票、氏名、製品番号などの識別情報は入力せず、分布計算に必要な集計値だけを使用してください。