第2種Kelvin関数kerν(z)・keiν(z)と導関数の複素計算

使い方

1. 実数次数ν、zの実部、zの虚部を指定します。z=0は入力できません。
2. kerν(z)、ker′ν(z)、keiν(z)、kei′ν(z)を4行の複素結果表で確認します。
3. 非整数次数の負実軸cutを避け、上下極限が必要なら符号付きの小さな虚部を明示します。

計算式・考え方

DLMF規約の第2種Kelvin関数ker_ν(z)、kei_ν(z)と各z導関数を評価します。正の実xではker_ν(x)+i kei_ν(x)=exp(−iνπ/2)K_ν(x exp(iπ/4))と整合します。

注意事項

• 第2種ker・keiはmodified Bessel Kの回転引数から作る減衰側のKelvin解です。正の実xでは大きいxで減衰しますが、複素zの全方向で一様に小さくなるわけではありません。
• ν=0でx→0+のときker_0は対数的に増大し、kei_0は−π/4へ近づきます。一般次数ではべき特異性と小成分の相殺もあるため、原点へ共通の有限値を入れず、全面精度検証に基づいて|z|≥0.3に限定します。
• Kνのbranchとexp(−iνπ/2)の位相を分離して丸めると、負実軸近傍や非整数次数で別の値になり得ます。本ページはprincipal解析接続を一体として扱い、exact cutを曖昧な片側値へ置換しません。
• Kelvin ker・keiの減衰側解と各微分を複素点で確認する用途に向きます。指数因子を除いたscaled Kや任意精度の値が必要な場合は対象外で、独立した高精度実装を使います。
• ker・keiは変形Bessel Kの回転から作るため、原点近傍の特異性と負実軸の解析接続を引き継ぎます。ν=0の対数特異性と非零次数のべき特異性を同じ有限値へ置き換えず、公開最小|z|より内側は計算エラーにします。
• 正の実xでkerとkeiが減衰しても、複素zの偏角を回すとKの指数因子が増加側へ変わります。|z|=30という上限はすべての方向で値が小さいことを意味せず、overflow余裕と相対精度をsector別に検査した有限範囲です。
• Kνの解析接続では回転引数がprincipal cutを一周するとIνを含む加法項が現れます。座標を単純に−πからπへ折り返すだけではこのmonodromyを失うため、本coreは意図したunwrapped角と実際のwrapped角の差から一周分を補正します。
• ker′・kei′は減衰率を調べるときに使えますが、対数微分ker′/kerやkei′/keiは分母の零点で不安定です。導関数単体の表から減衰定数を自動推定せず、元関数の複素値と物理モデルの尺度を一緒に確認します。
• 整数次数でもker・keiは原点のbranch pointを一般に失いません。ber・beiで整数次数のbranchが消える性質を第2種へそのまま移さず、負実軸ちょうどを使う場合は上側principal境界値であることを記録します。
• 正実軸のν=0ではkei0(x)がx→0+で−π/4へ近づく一方、ker0(x)は発散します。有限に見えるkeiだけを理由にz=0を許可するとkerと導関数が未定義になるため、四行を同時に返すこのページでは原点を共通除外します。
• 第2種の値を外部libraryと比較するときはKelvinKer/KelvinKeiか、回転Kνのどちらを呼んでいるかを確認します。回転Kの単一値から実部・虚部を抜くだけの手順は複素zでは標準解析関数と一致しないsectorがあります。
• Kelvin関数はBessel方程式の引数を複素方向へ回転して得られる特殊関数です。このページ群ではDLMFが定義するber、bei、ker、keiを複素zへprincipalに解析接続し、第3種ページでは参照canonicalのher、heiを第2種から定義します。各関数値とzによる一次導関数を独立した複素数として返し、実数x専用の二つの実成分表を虚部を捨てたまま複素入力へ流用しません。
• 実数xではberとbeiなどを一つの回転Bessel値の実部・虚部として読めます。しかしz自体が複素数ならber_ν(z)もbei_ν(z)も一般に複素値です。したがって単一の複素結合をJavaScriptのReal/Imagへ分解するだけでは標準的な二つの解析関数を再現できず、DLMFの対になる接続式またはべき級数を使います。
• 次数νは−20以上20以下の有限な実数、引数は0.3≤|z|≤30です。複素次数、z=0、範囲外の値は扱いません。非整数次数ではz^νを含むため負の実軸がprincipal branchのcutになります。曖昧な軸上値を推測しないため、νが非整数でIm(z)=0かつRe(z)<0の入力を拒否します。
• 負実軸の上側または下側の極限が必要なら、0ではない小さな正または負の虚部を入力し、採用側を数値と一緒に保存してください。入力欄が−0の符号を保持することには依存しません。整数次数の負実軸は一価化できる場合もありますが、整数用の位相則を非整数νへ延長してはいけません。
• 第1種ber・beiは一部のsectorで指数的に増加し、第2種ker・keiと第3種her・heiは別のsectorで減衰または増加します。同じ|z|でも偏角によってdynamic rangeが大きく異なります。片方の系列が小さく見えても0とは限らず、実部・虚部と指数表記を確認します。
• プライムは複素引数zによる一次導関数です。次数νの微分ではなく、実数xだけを動かした差分にも限定されません。回転Bessel関数を微分するときは合成関数の回転係数が必要であり、J'、K'、H'の値を係数なしでそのままber'、ker'、her'へ置き換えると位相が変わります。
• 第3種のher、heiはDLMF固有の記号ではありません。本サイトでは参照canonicalの規約を明示的に採用し、her_ν(z):=(2/π)kei_ν(z)、hei_ν(z):=−(2/π)ker_ν(z)と定義します。正の実xではher+i hei=(2/(iπ))(ker+i kei)となり、DLMF 10.61.E2の回転Hankel式と整合します。別資料と比較するときは記号名だけで一致を判断しません。
• 表示はbinary64の最大15有効桁で、scaled値や任意精度値ではありません。整数次数直近の接続式では巨大な近接項の相殺が起こり得るため、単純なsin(πν)の差商だけに頼らず整数極限を安定化します。零交差付近は相対誤差だけでなく絶対誤差も確認してください。
• 同じ記号でも文献によって回転角の符号、次数に掛ける指数位相、第3種の正規化が異なる場合があります。数表の数値だけを見て符号誤りと判断せず、ber+i bei、ker+i kei、her+i heiをどのBessel関数とどの回転引数へ結んでいるかを式で照合します。本ページ群はNIST DLMFの規約を正本にします。
• 数値検算では正の実軸の既知実値、一般の複素点、整数次数、整数直近、最小|z|、最大|z|、branch cutの上下を分けます。関数値と導関数を一緒に調べ、Kelvin方程式や線形接続式だけでなく独立高精度oracleとも比較します。一つの恒等式が合うことを全sectorの精度保証とはみなしません。
• 計算は1入力点につき四つのquantityを返す有界scalar処理です。グラフ、零点・極値探索、複素積分、逆関数、物理モデルの境界条件選択は実行しません。熱伝導、表皮効果、円柱問題へ使うときは無次元化、時間因子、回転角、関数種をモデル側で確認してください。
• 結果表の正本はquantity、Re、Im、|w|、arg(w)[rad]の五列です。主偏角はatan2で−πからπの範囲に表示し、厳密な0の偏角は未定義として扱います。絶対値と偏角だけを保存すると象限や小成分を失うため、再利用時はReとImも残してください。
• 入力と計算結果は利用者の端末内だけで処理され、外部API、CDN、fetch、XMLHttpRequest、WebSocket、Cookie、localStorageを使いません。計算ボタンを押した後も入力した次数や複素引数を外部へ送らず、同じ画面内のJavaScriptだけで結果表を組み立てます。
• 定義とbranchはNIST DLMF §10.61（https://dlmf.nist.gov/10.61）、導関数と漸化式は§10.63（https://dlmf.nist.gov/10.63）、べき級数は§10.65（https://dlmf.nist.gov/10.65）、変形Bessel関数の解析接続は§10.34（https://dlmf.nist.gov/10.34）、正の実軸上の大引数漸近展開は§10.67（https://dlmf.nist.gov/10.67）を2026年7月15日に照合しました。比較時はprincipal branch、回転角、次数、z微分を式単位で確認してください。
• −20≤ν≤20、0.3≤|z|≤30のbinary64 principal Kelvin値です。非整数次数の負実軸cut、任意精度、scaled値は扱いません。

よくある質問