負の二項分布のPMF・累積確率を最大201点でグラフ・表計算

使い方

1. 目標成功回数k、成功確率p、表示関数と失敗回数xの整数格子を入力します。既定はk=4,p=0.4,x=0〜19です。
2. PMFの山と右裾、Pの増加、Qの減少を見て、幾何分布k=1との違いを確認します。
3. 既定値のx=0でf=P=.0256,Q=1、x=4でf≈.116122を表で検算します。

計算式・考え方

成功確率pの独立試行でk回成功する前の失敗数X=0,1,…についてf(x)=C(x+k−1,x)p^k(1−p)^xです。P(X≤x)=Σ[t=0..x]f(t)、Q(x)=P(X≥x)=Σ[t=x..∞]f(t)。k≥1、0<p≤1です。

注意事項

• SciPy公式scipy.stats.nbinomのPMF・支持域・パラメータ化を2026年7月13日に確認しました。SciPyでもn回成功する前の失敗数kを数える形があり、本ページの目標成功回数kとの記号衝突に注意します。inclusive Qはnbinom.sf(x−1,k,p)です。
• 負の二項分布はk回の成功へ到達するまでの失敗数を表します。k=1なら幾何分布の失敗回数規約と一致します。期待失敗数はk(1−p)/p、分散はk(1−p)/p²です。試行ごとにpが変わる、成功後に条件が変わる場合は単純な独立同分布モデルではありません。
• canonicalは非整数xとp=0を通しますが、失敗回数は整数であり、p=0ではk回成功へ有限に到達しません。本ページはxを整数、pをruntimeの安全下限1e−12以上1以下へ修正します。p=1ではx=0に確率1が集中し、runtimeのlazy endpoint処理で有限値を返します。
• pが小さい、またはkが大きいほど分布は右へ広がります。x≤10,000で打ち切るため、表示末尾のQが無視できない場合は全体を表示できていません。点数201の範囲を分けて観察するか、パーセント点専用計算を使ってください。過分散データへ使う別の負の二項パラメータ化とは平均・分散の指定方法が異なる場合があります。
• サンプル番号i=0,1,…,点数−1に対してx_i=x初期値+i×増分を作ります。xは回数を表すため初期値と増分を整数に限定し、増分0は拒否します。負の増分なら大きいxから小さいxへ並べられます。点数は1〜201、xと分布パラメータは原則10,000以下へ有界化し、201回の端末内評価が過大にならないようにしています。
• 離散分布は整数点だけに確率があるため、結果は線で結ばずpoints表示にします。点と点の間に確率密度が続くわけではありません。グラフが小さく見える場合も表の確率値が正本です。代替表には全点を載せ、列見出しを保ったTSVとしてコピーできます。累積関数は単調性も表で確認してください。
• このページのQはxを含むP(X≥x)です。したがってP(X≤x)+P(X≥x)=1+P(X=x)、記号ではP(x)+Q(x)=1+f(x)、Q(x)=1−P(x−1)、P(x)+Q(x+1)=1です。連続分布のように同じxでP+Q=1とはなりません。一般的な統計ライブラリのsurvival functionはP(X>x)なので、変数が同じ規約ならinclusive Q(x)との比較はsf(x−1)です。幾何分布のように確率変数自体を1始まりへ写す場合は、そのページ固有の対応を優先してください。
• schema v4のsampled-series-v1と定義所有の許可制ASTを使い、選択したf/P/Qの枝だけを評価します。eval、new Function、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocketは使いません。入力と系列は利用者の端末内だけで処理し、サーバーへ送信・保存しません。WordPressへの書込み、下書き作成、公開も行いません。
• 確率分布の式が正しくても、現実のデータが独立か、同じ確率を持つか、復元抽出か、観測期間が一定かというモデル条件は自動判定できません。グラフの見た目だけで適合性や将来結果を断定せず、確率変数の0始まり/1始まり、パラメータ、支持域、丸め方を計算結果と一緒に記録してください。
• 確率モデルの計算・学習用です。現実の独立性やモデル適合性を保証しません。

よくある質問