非心カイ二乗分布の確率密度・下側P・上側Q

使い方

1. 0以上の評価点x、0より大きい実数自由度ν、0以上の非心度λを入力します。x=0で密度も表示する場合はνを2以上にします。
2. PとQの向き、自由度の順番、非心度λの定義を使用中の資料と照合します。入力欄の記号だけでなく、分布の定義式まで確認してください。
3. 計算後、密度fと累積P・Qを別の量として読みます。裾確率が小さい側は対応するPまたはQを直接確認します。
4. λ=0の中心分布、P+Q≈1、順方向と逆方向の往復を検算し、使用した入力値、ソフトウェア版、計算日を結果と一緒に記録します。

計算式・考え方

Uがν自由度・非心度λの非心カイ二乗分布に従うとき、w_j=e^(−λ/2)(λ/2)^j/j!として、f(x)=Σw_j f_χ²(x;ν+2j)、P(x)=Σw_j P_χ²(x;ν+2j)、Q(x)=Σw_j Q_χ²(x;ν+2j)です。λ=0ではj=0だけが残ります。

注意事項

• 支持範囲はx≥0です。平均はν+λ、分散は2(ν+2λ)で、λが増えると質量は概して右へ移動します。同じxに固定すると下側Pはλの増加に対して減少し、上側Qは増加します。
• x=0の密度はν>2で0、ν=2でexp(−λ/2)/2、0<ν<2で+∞です。累積はP(0)=0、Q(0)=1ですが、1ページで有限scalarを同時表示する契約のため発散する組合せだけを入力段階で拒否します。
• NIST DataplotのNON-CENTRAL CHI-SQUARE PDF/CDF資料で密度・累積の定義とλ≥0を確認しました。表記上の非心度がλかλ²かは資料によって違うため、数値だけでなく定義式を照合してください。
• 非心カイ二乗分布は中心分布へ非心度λを加えた連続分布です。λ=0は対応する中心分布と一致します。λを位置母数や尺度母数として足し引きする分布ではなく、定義に従って自由度と組み合わせます。実データからλを推定する機能や標本適合度を判定する機能は含みません。
• 確率密度f(x)は一点で起こる確率ではなく、区間積分の高さです。下側PはPr(X≤x)、上側QはPr(X>x)で、連続分布では理論上P+Q=1です。小さい裾を1からの差だけで作ると有効桁を失うため、共有関数はPとQを別々の安定な経路で評価します。
• 数値計算はポアソン重みを持つ中心分布の混合を、重みの大きい項の近くから有界反復で加算します。打切り誤差の目標、最大4096項、補償和、PとQの整合確認を組み合わせます。収束しない入力を見かけの有限値へ置き換えず、計算エラーとして扱います。
• この確率密度・累積確率ページはIEEE 754 binary64の近似計算です。結果欄は有効数字を最大15桁まで表示しますが、末尾桁すべてを保証する任意精度計算ではありません。6桁や50桁といった固定精度を装わず、重要な判断では同じ定義と母数化を使う独立実装で代表値を照合してください。
• 定義と入力範囲はNIST Dataplotの非心分布資料およびSciPy公式special/stats資料を2026年7月14日に照合しました。資料は式、支持範囲、P・Qの向き、λ=0の関係、逆関数の意味を確かめる一次資料として使い、ページの計算時に外部サイトへ接続することはありません。
• 自由度、非心度、検定統計量の定義は手法によって異なります。検定力、標本数設計、信頼区間、回帰モデルの係数からλを決める式はこのページの範囲外です。数値だけを臨界値や有意水準へ読み替えず、片側・両側、帰無仮説、対立仮説、推定方法を分析計画で確認してください。
• 入力上限は数学上の定義域を変更するためではなく、ブラウザを長時間占有しないための運用上の境界です。上限付近では丸め誤差と反復回数が増える場合があります。必要な範囲を狭くして代表点を先に検算し、大量の条件比較は一度に詰め込まず分けて実行してください。
• このページはcalculator-firstで、入力、計算、結果、式、使い方、注意点の順に読めます。生成時はWordPress本文・追加CSS・追加JavaScriptの3成果物へ分離でき、既存テーマのフォントやレイアウトを上書きしません。ここではローカル成果物だけを作り、投稿・下書き・公開は行いません。
• 指定した数学的分布の近似計算です。モデル適合、検定設計、個別判断を保証しません。

よくある質問