パレート分布の確率密度・累積確率・上側確率グラフ計算

パレート分布の確率密度・累積確率・上側確率グラフ計算

正の最小尺度xmと形状α、0以上のx格子を入力し、第一種パレート分布のPDF・下側CDF・上側確率を最大201点のグラフ、表、TSVで計算します。

入力

参照フォームと同じ実値0・1・2で1系列を選びます。密度fは曲線の高さ、PはPr(X≤x)、QはPr(X>x)です。

分布が始まる正の下端です。x<xmではP=0、Q=1、f=0です。

正の尾指数です。小さいほど右裾が重くなります。

第0点のxです。0以上1e+06以下で、最終点も同じ範囲へ収まるよう刻みと点数を選びます。

隣り合う点の差です。正なら昇順、負なら降順です。0は同じxの重複列になるため使用できません。

初期値を第0点として数える1〜201点です。参照ページの繰返回数に対応し、端点を含みます。

使い方

  1. 最初に表示するパレート分布の関数を選びます。確率密度f、下側累積P、上側累積Qは同じパラメータでも縦軸の意味が異なるため、比較目的に合う系列を1つ指定してください。
  2. 次に0より大きい最小尺度xmと形状αを入力します。単位を持つ値は互いに同じ単位へそろえ、形状パラメータは無次元として入力します。
  3. xの初期値、0以外の増分、1〜201点のサンプル点数を入力します。第i点はx_i=x初期値+i×増分で、負の増分なら右から左へ確認できます。
  4. 計算ボタンでグラフを描き、直後の表で代表点を含む全数値を確認します。必要ならTSVコピーを使い、表計算ソフトで再描画・差分検算してください。

計算式・考え方

x≥xmでQ=(xm/x)^α、P=1−Q、f=αQ/x=αxm^α/x^(α+1)です。x<xmでは支持範囲外としてf=0、P=0、Q=1へ区分拡張します。

注意事項

  • 支持範囲はx≥xmで、xmは単なる横移動ではなく分布の厳密な下端です。下端でQ=1、P=0、密度はα/xmです。x<xmには確率質量がありません。
  • αが小さいほど裾が重くなります。平均はα>1でのみ有限、分散はα>2でのみ有限です。グラフが有限に見えても、母数によって通常の平均・分散が存在しない点に注意してください。
  • このページは第一種パレート分布です。位置・尺度を追加した第二種や一般化パレート分布とは支持範囲と母数の意味が異なります。xmを位置母数として単純に加算しないでください。
  • (xm/x)^αはexp[α(ln xm−ln x)]として評価し、巨大なべき乗の中間値を避けます。支持範囲判定を先に行うのでx=0でln(0)を評価しません。
  • 所得・規模・損失などの重い右裾を学ぶ用途に使えます。実データでは閾値xmの選び方、母数推定の不確かさ、上端打切り、他分布との適合比較が必要です。
  • パレート分布のグラフは連続関数そのものではなく、入力した有限格子を直線で結んだ表示です。急な立ち上がり、折れ点、有限端点、重い裾を調べるときは、その付近へx範囲を絞るか増分を小さくしてください。点数だけを増やしても調べたい区間が広すぎれば特徴を見落とします。
  • PとQは理論上P+Q=1です。本実装は小さい上側確率を1−Pだけで作らず、分布ごとの安定な式から直接計算します。深い裾でPが表示上1になっても、Qの列には倍精度で表せる小さい確率が残る場合があります。
  • 密度の高さは一点の確率ではありません。連続分布の区間確率は密度を区間で積分した面積です。尺度を小さくすると密度の峰が1を超えることがありますが、負でなく全支持範囲の積分が1なら確率密度として矛盾しません。
  • 同じ分布名でも資料やソフトによって尺度、率、位置、形状の記号と並び順が異なります。結果を引き継ぐときは名称だけでなく、このページの数式、支持範囲、P・Qの不等号、入力値を一緒に記録してください。
  • 式とパラメータ化はNIST Dataplot公式『Pareto Probability Density Function』を2026年7月13日に照合しました。第一種パレートの下端xm、正の形状α、PDFと関連CDFのパラメータ化を確認しました。参照資料は定義の確認にのみ用い、計算時の外部通信は行いません。
  • 確率密度・累積分布・上側確率の一般的な意味はNIST/SEMATECH e-Handbook『Related Distributions』を2026年7月13日に確認しました。P=Pr(X≤x)、連続分布ではQ=Pr(X>x)=1−Pという約束で統一しています。
  • サンプル番号iを0から点数−1まで取り、x_i=x初期値+i×x増分で作ります。点数には初期値と最終点の両方を含みます。増分を負にするとxは降順になり、同じ関数を右から左へ確認できます。増分0は参照ページで表列が崩れるため明示的に拒否します。
  • 点数は1〜201へ有界化しています。線は隣接する計算点を視覚的に結ぶもので、点の間を追加評価した結果ではありません。急な折れ曲がりや飽和域を調べるときは、区間を狭めるか点数を増やし、重要なxが格子点に含まれるよう初期値と増分を選んでください。
  • グラフが主結果ですが、色や線だけに依存しない同値のデータ表を必ず併記し、全行をTSVとしてコピーできます。表のxと各系列値が正本で、グラフはその可視化です。スクリーンリーダーでは結果の要約、列見出し、行データの順に確認できます。
  • 式はschema v4のsampled-series-v1で各xを独立評価します。許可制ASTと既存named functionだけを使い、eval、new Function、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocketへ接続しません。入力と生成系列は利用者の端末内だけで処理され、サーバーや第三者へ送信・保存されません。
  • グラフの形だけで学習性能、確率モデルの適合、工学現象の妥当性は判断できません。関数名、パラメータ、入力尺度、浮動小数点精度を合わせ、必要なら表の代表点を別実装と数値比較してください。低精度テンソルや量子化モデルでは倍精度の本ページと末尾桁や飽和開始位置が異なる場合があります。
  • 実数関数を有限格子で標本化した学習・検算用グラフです。モデル性能、統計的適合性、設計安全性を判定しません。

よくある質問

PDF・P・Qはどれを選べばよいですか？

曲線の形や最頻付近の高さはPDF、ある値以下の割合はP、ある値を超える割合はQを選びます。裾の小さい確率は対応するPまたはQを直接表示してください。

サンプル点数201を超えて細かくできますか？

1ページ内の描画負荷と表の可読性を守るため最大201点です。必要な区間へx範囲を絞って増分を小さくし、複数回に分けて確認してください。

表に未定義と出るのは故障ですか？

支持端点で密度が無限大になる場合や倍精度範囲を超える場合は、有限値へ偽装せず未定義のギャップにします。PとQが定義される端点では関数選択を切り替えて確認できます。

負の増分を使えますか？

使えます。最終点も許可範囲へ収まる必要があります。表は入力した順序を保つため、右側から左側へ分布を追う検算にも利用できます。

入力した数値と生成した系列は端末内だけで計算・表示されます。外部へ送信・保存せず、氏名、モデル名、測定データなどの個人情報・機密情報を入力する欄もありません。