ポアソン分布の確率・上下累積確率を計算

使い方

1. 一定区間あたりの平均発生回数λを入力します。
2. 確率を確認したい非負整数の発生回数xを入力します。
3. 計算ボタンを押し、ちょうどx回、x回以下、x回以上の確率と標準偏差を確認します。
4. 発生率が一定で独立、同時発生が無視できるというポアソン過程の近似が妥当か確認します。

計算式・考え方

X~Poisson(λ)に対し、P(X=x)=exp(−λ)×λ^x÷x!。下側累積P(X≦x)=Σ(k=0..x)P(X=k)、上側累積P(X≧x)=Σ(k=x..∞)P(X=k)。平均と分散はλ、標準偏差はsqrt(λ)です。

注意事項

• ポアソン分布は、一定の時間・面積・距離などの区間に発生するイベント数を、平均λから表す離散分布です。問い合わせ件数、欠陥数、到着数などに使われますが、現象ごとに発生の独立性と率の一定性を確認します。
• λは単なる数ではなく『指定区間あたりの平均回数』です。1時間あたり4件のλ=4と、1日あたり4件のλ=4は同じ数式でも観測区間が違います。比較するときは区間単位をそろえてください。
• λ=2.5、x=3なら、ちょうど3回は約21.3763%、3回以下は約75.7576%、3回以上は約45.6187%です。上下累積はx回ちょうどを双方が含むため、単純に足して100%にはなりません。
• 平均λと分散λが等しいことは重要な診断材料です。実データの分散が平均より大幅に大きい過分散、逆に小さい過小分散がある場合、負の二項分布、階層モデル、制約のある到着過程などが適切なことがあります。
• 発生が時間帯で集中する、故障が連鎖する、同じ原因で複数件が同時に起こる、上限容量がある場合は、一定率・独立という単純なポアソンモデルから外れます。区間を細かく分けるか、共変量を含むモデルを検討します。
• 二項分布でnが大きくpが小さく、np=λが一定に近い場合はポアソン近似が使われることがあります。ただし有限nの正確な確率が必要なら二項分布を直接計算し、近似誤差を別に評価してください。
• 数式と平均・標準偏差の定義は、米国NIST/SEMATECH e-Handbookの確率分布資料（1.3.6.6.19 Poisson Distribution、2026年7月12日確認）と照合しました。参照先は式の根拠であり、このページの日本語説明、入力設計、例、FAQ、コードはalfa-tools向けに独自作成しています。
• 離散分布では、整数xちょうどの値を確率質量、x以下を下側累積確率、x以上を上側累積確率として区別します。上側をxより大きい確率と解釈すると1項ずれるため、このページは『以上』を含む定義を結果ラベルと式の両方へ明記します。
• 内部計算は各項をそのまま掛け続けず、対数領域で確率を加算します。必要に応じて平均に近い側とは反対の短い裾を計算し、1との差にはexpm1相当の処理を使います。大きな階乗のオーバーフローと、1に近い累積確率の桁落ちを抑える設計です。
• 入力上限はブラウザを固めないための実行上限です。二項分布の試行数は100,000回、ポアソン分布のカウントは1,000,000、平均λは100,000までに制限します。任意精度の研究計算や極端な裾確率が必要な場合は、検証済み統計ソフトと多倍長計算を併用してください。
• 結果は入力した確率モデルのもとでの値であり、現実の抽選、故障、来客、品質、事故を保証しません。独立性、成功率の一定性、発生率の一定性などの仮定が崩れると、数値を細かく表示してもモデル誤差は小さくなりません。
• 計算は入力端末のブラウザ内だけで行い、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocket、eval、new Functionを使いません。入力した試行条件や観測値は送信・保存されず、WordPressには本文、追加CSS、追加JavaScriptの静的成果物として配置できます。
• 教材や検算では、まず小さな整数で全事象を数え、次にこの結果と照合すると定義のずれを見つけやすくなります。業務判断では、観測期間、母集団、欠測、測定単位、データ生成過程も記録し、確率だけで結論を固定しないでください。
• 表示は確率をパーセントへ換算して読みやすく丸めますが、内部では0から1の丸め前の値を使います。別のソフトと末尾が違う場合は、上側が端点を含むか、入力が百分率か割合か、どの段階で丸めたかを確認してください。結果のコピー時にもラベルと単位を一緒に残すと再検算しやすくなります。
• 正常ケース、平均0または成功率0の境界ケース、負数や範囲逆転の異常ケースを定義内へ保存し、Python側と生成JavaScript側で同じ式を評価します。公開候補はデスクトップ幅と375px幅の実プレビューへ全ケースを入力し、エラー表示、横はみ出し、実行時例外も一括確認します。
• 指定した確率モデルの計算です。現実の当選、発生、品質、将来結果を保証しません。

よくある質問