ポアソン分布のパーセント点を累積確率から計算

使い方

1. 一定区間あたりの平均発生回数λを入力します。
2. 逆算したい累積確率を0%より大きく100%未満で入力します。
3. 計算ボタンを押し、下側累積の最小整数点と上側累積の最大整数点を確認します。
4. 離散分布のため、達成累積確率が入力値を飛び越えることを結果欄で確認します。

計算式・考え方

下側点はmin{x∈0,1,… | P(X≦x)≧q}、上側点はmax{x∈0,1,… | P(X≧x)≧q}です。X~Poisson(λ)の累積確率を対数領域で求め、有限の整数範囲を探索します。q=0%・100%は有限境界の曖昧さを避けるため除外します。

注意事項

• 平均λから、指定割合の観測が収まる発生回数の境界を逆算します。下側95%点が8なら、8回以下となる確率が初めて95%以上になることを表し、8回ちょうどの確率が95%という意味ではありません。
• λ=4.25、q=95%では下側点8でP(X≦8)約97.02%、上側点1でP(X≧1)約98.57%です。上側点2では約92.51%となり95%を下回るため、条件を満たす最大整数は1です。
• 離散分布の累積確率は階段状なので、入力qと完全に一致しないのが通常です。小数の発生回数へ補間せず、実際に取り得る非負整数のうち定義を満たす境界と、その点での達成確率を併記します。
• 在庫の安全数、窓口容量、アラート閾値などへ応用するときは、上限超過を抑えたいのか、最低件数を見込みたいのかで裾が変わります。損失関数や許容リスクを別に定め、上下の取り違えを防いでください。
• 観測からλを推定した場合、その推定誤差はこのパーセント点計算に含まれません。標本期間が短い、季節性がある、イベントが連鎖する場合は、λの信頼区間や予測分布まで含む分析が必要です。
• 極端なqでは入力λのわずかな違いで整数点が変わる場合があります。境界だけでなく、その一つ前・一つ後の累積確率も統計ソフトで検算し、重要な運用では安全余裕と実データによる再評価を行ってください。
• 数式と平均・標準偏差の定義は、米国NIST/SEMATECH e-Handbookの確率分布資料（1.3.6.6.19 Poisson Distribution、2026年7月12日確認）と照合しました。参照先は式の根拠であり、このページの日本語説明、入力設計、例、FAQ、コードはalfa-tools向けに独自作成しています。
• 離散分布では、整数xちょうどの値を確率質量、x以下を下側累積確率、x以上を上側累積確率として区別します。上側をxより大きい確率と解釈すると1項ずれるため、このページは『以上』を含む定義を結果ラベルと式の両方へ明記します。
• 内部計算は各項をそのまま掛け続けず、対数領域で確率を加算します。必要に応じて平均に近い側とは反対の短い裾を計算し、1との差にはexpm1相当の処理を使います。大きな階乗のオーバーフローと、1に近い累積確率の桁落ちを抑える設計です。
• 入力上限はブラウザを固めないための実行上限です。二項分布の試行数は100,000回、ポアソン分布のカウントは1,000,000、平均λは100,000までに制限します。任意精度の研究計算や極端な裾確率が必要な場合は、検証済み統計ソフトと多倍長計算を併用してください。
• 結果は入力した確率モデルのもとでの値であり、現実の抽選、故障、来客、品質、事故を保証しません。独立性、成功率の一定性、発生率の一定性などの仮定が崩れると、数値を細かく表示してもモデル誤差は小さくなりません。
• 計算は入力端末のブラウザ内だけで行い、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocket、eval、new Functionを使いません。入力した試行条件や観測値は送信・保存されず、WordPressには本文、追加CSS、追加JavaScriptの静的成果物として配置できます。
• 教材や検算では、まず小さな整数で全事象を数え、次にこの結果と照合すると定義のずれを見つけやすくなります。業務判断では、観測期間、母集団、欠測、測定単位、データ生成過程も記録し、確率だけで結論を固定しないでください。
• 表示は確率をパーセントへ換算して読みやすく丸めますが、内部では0から1の丸め前の値を使います。別のソフトと末尾が違う場合は、上側が端点を含むか、入力が百分率か割合か、どの段階で丸めたかを確認してください。結果のコピー時にもラベルと単位を一緒に残すと再検算しやすくなります。
• 正常ケース、平均0または成功率0の境界ケース、負数や範囲逆転の異常ケースを定義内へ保存し、Python側と生成JavaScript側で同じ式を評価します。公開候補はデスクトップ幅と375px幅の実プレビューへ全ケースを入力し、エラー表示、横はみ出し、実行時例外も一括確認します。
• 指定した確率モデルの計算です。現実の当選、発生、品質、将来結果を保証しません。

よくある質問