正の実数xのpolygamma関数を階数−1〜4で計算

使い方

1. 階数nを−1、0、1、2、3、4から選び、正の実数xを0.05以上100以下で入力します。
2. 計算ボタンを押し、選んだ階数のLogGamma、digamma、またはpolygamma値を確認します。
3. 別資料と比べるときはn=−1の定義がLogGammaであることと、xが正実数であることを記録します。

計算式・考え方

n=−1はこのページ固有のΨ_−1(x)=LogGamma(x)、n=0はdigamma Ψ(x)、n≥1はΨ^(n)(x)=d^(n+1)logΓ(x)/dx^(n+1)です。NIST DLMF §5.11 https://dlmf.nist.gov/5.11 と§5.15 https://dlmf.nist.gov/5.15 を照合しました。

注意事項

• DLMFが通常polygammaと呼ぶ階数はdigammaの導関数側です。n=−1をLogGammaと呼ぶ規約はcanonicalページに合わせた拡張なので、他ソフトのPolyGamma[-1,x]対応と比較する前に定義を確認してください。
• 正の実数xだけを扱うためGamma関数の非正整数極と複素LogGammaの枝を避けられます。負のxをlog|Gamma(x)|へ置き換えるとprincipal LogGammaとは別物になるため、このページへ暗黙拡張しません。
• n=0のdigammaはΓの対数微分です。x=1では−Euler定数、n=1ではπ²/6、n=2では−2ζ(3)となります。x=1で階数ごとの既知値を並べると、符号と階乗係数を検算できます。
• 小さい正のxでは高階polygammaの絶対値が急増します。下限x=0.05、n=4では約−76800019.59394216ですが、これは入力エラーではなく極へ近づく挙動です。表示桁と符号を独立oracleで確認してください。
• xを12以上へ移すまで漸化式を有限回使い、移した点でBernoulli数を使う漸近展開を評価します。項が再び増え始める前に止め、発散漸近級数を固定項数だけ無条件に足しません。
• n=−1は監査済みLanczos型LogGamma経路を使い、n=0〜4は後退漸化と漸近式を使います。各経路で非有限値、選択肢外の階数、公開範囲外のxをfail closedにします。
• NIST DLMF §5.2 https://dlmf.nist.gov/5.2 はGammaとdigammaの極、§5.21 https://dlmf.nist.gov/5.21 は漸近値からの後退計算を説明します。公開域と計算法はこれらを踏まえて限定しています。
• m≥1ではΨ^(m)(x+1)=Ψ^(m)(x)+(−1)^m m!/x^(m+1)という漸化関係を使って値を照合できます。digammaではΨ(x+1)=Ψ(x)+1/xです。xを1だけずらした二つの結果をこの式へ入れると、階数の符号、階乗、べき指数をまとめて検算でき、単純な表示桁比較より実装ミスを見つけやすくなります。公開下限より小さい点へ漸化式を繰り返してページの入力域を迂回する使い方は、丸め誤差の監査対象外です。
• 正の実数域ではtrigammaは正、2階は負、3階は正というように、m≥1の符号が交互になります。これは値の大小だけでなく階数選択を取り違えていないかを見る手掛かりです。ただしdigammaはxによって符号が変わり、LogGammaも単調ではない区間があるため、n=−1とn=0へ同じ符号規則を当てはめません。高階値の絶対値だけを比較するとxの違いを階数差と誤認しやすいので、必ず同じxで照合します。
• LogGammaを返すn=−1はGamma(x)そのものではなく、その自然対数です。大きなxでGammaがbinary64の最大値を超える場合でもLogGammaは有限に保てることがあります。逆に表示値を指数関数へ戻すとoverflowする可能性があるので、尤度や積の計算では対数のまま加算し、最後に必要な差だけを指数化する使い方が安全です。Gamma比は二つのLogGammaの差を取ってから指数化すると、巨大なGamma値を個別に生成せずに済みます。
• 数式と公開域は2026年7月16日に確認しました。数値微分で高階値を再現しようとすると刻み幅による相殺が大きいため、検算にはζ関数の既知値、漸化式、任意精度polygamma実装を使ってください。
• 正の実数polygamma関数について: 表示値はIEEE 754 binary64を基礎とする有限精度の近似値です。最大有効桁を表示しても全桁が数学的に保証される意味ではなく、零点付近、極付近、大きな相殺がある入力では相対誤差が増える場合があります。
• 正の実数polygamma関数について: 入力欄の上下限は単なる画面上の目安ではありません。独立した高精度oracleと境界探索で監査した公開域であり、範囲外を最後の有限値へ丸めたり、計算途中の値を成功結果として表示したりしません。
• 正の実数polygamma関数について: この計算器は外部API、外部CDN、fetch、XMLHttpRequest、WebSocket、eval、new Functionを使用しません。数値計算と結果表の組み立ては利用者のブラウザ内で完結し、共有サーバーへ数値計算の負荷を移しません。
• 正の実数polygamma関数について: 端末内計算でも、古いブラウザ、改変されたJavaScript、拡張機能の干渉、極端な省電力設定まで保証するものではありません。重要な研究、設計、試験、規格適合では別実装と一次資料を使って再計算してください。
• 正の実数polygamma関数について: 結果のコピー機能は表示値の転記を助けますが、単位、関数種、入力条件までは自動で保存しません。再現性が必要なら、入力一式、確認日、ページ名、表示された値を同じ記録へ残してください。
• 正の実数polygamma関数について: 出典URLは定義と数値上の注意を確認するための一次資料です。参照ページの説明文や実装を複製せず、入力意図だけを同定し、式、公開域、例、注意、FAQは監査結果に基づいて独自に作成します。
• n=−1〜4、0.05≤x≤100の正実数binary64値です。負・複素x、任意精度、極のlimit解釈は扱いません。

よくある質問