符号付き第1種Stirling数 s(n,k) を正確に計算

使い方

1. 非負整数nと0≤k≤nを入力します。
2. 符号付きs(n,k)をexact DPで計算します。
3. 符号、対角値、漸化式で検算します。

計算式・考え方

下降階乗x(x−1)…(x−n+1)=Σ_(k=0)^n s(n,k)x^kの係数として、符号付き第1種Stirling数を定義します。

注意事項

• NIST DLMF §26.8を2026年7月13日に照合しました。canonicalと同じ符号付き規約で、s(n,k)=s(n−1,k−1)−(n−1)s(n−1,k)です。xの下降階乗を通常のべきx^kへ展開した係数として符号が決まります。
• 絶対値|s(n,k)|はn要素の置換でちょうどk個の巡回を持つものの個数です。文献で角括弧やc(n,k)を使うunsigned第1種Stirling数とは符号が異なります。符号付き値は(−1)^(n−k)|s(n,k)|です。
• canonical UIはn≥1、1≤k≤nですが、DLMFの自然な境界値s(0,0)=1を追加で扱います。n>0ではs(n,0)=0、s(n,n)=1です。k>nを0へ黙って置き換えず入力エラーにします。
• 全kを安全整数に保てる連続範囲はn≤18です。row18の最大絶対値は|s(18,3)|=1821602444624640です。n=19ではs(19,3)=34012249593822720となり2^53−1を超えるため許可しません。
• 計算は行ごとの有界DPで、各乗算と減算がNumber.isSafeIntegerを満たすか検査します。factorialや浮動小数の近似式は使いません。基底変換、有限差分、置換の巡回構造の検算に利用できます。
• このページは一組の入力から一つまたは少数の代表値を求めるスカラー計算機です。連続区間の形を調べるグラフ版とは目的が異なり、教科書の例題、実装テスト、数表の一点を落ち着いて照合できます。同じ記号でも符号規約、解析接続、上昇階乗と下降階乗の違いがあるため、結果だけでなく本文の定義式を先に確認してください。
• 計算は利用者のブラウザ内だけで完結し、入力値を外部APIやサーバーへ送信しません。eval、new Function、fetch、XHR、WebSocketを使わず、コード側で許可した有界named functionだけを呼び出します。反復回数、整数上限、有限性を検査し、範囲外や未定義点を都合のよい近似値へ置き換えません。
• JavaScriptの数値はIEEE 754 binary64で、整数を常に厳密に表せるのは絶対値2^53−1以下です。Bernoulli数とStirling数はこの安全整数境界から入力上限を決めています。画面表示は最大15桁へ整形されるため、16桁の安全整数は科学表記で末尾が丸められる場合がありますが、内部のnamed functionとテストoracleは安全整数として厳密です。
• 検算ではcanonical既定値だけでなく、0、端点、符号が変わる点、最初の未許可値を分けて確認します。漸化式を使う整数列は隣接行を独立DPと比較し、ゼータ関連関数は高精度mpmath、Bernoulli数は既約Fraction、Pochhammerは直接積と照合します。異なる方法が同じ丸め値を返すことを確認してから利用してください。
• 入力欄は有限値と整数条件を検査し、エラーがあれば対象欄へフォーカスを戻します。0と未定義、非常に小さい非零値、近似小数と厳密整数を区別します。結果をコピーするときは関数名、入力、採用した規約、確認日も一緒に記録すると、別の資料やソフトウェアで条件を復元しやすくなります。
• この計算結果は学習、数表作成、プログラムの単体テストを補助するものです。有限範囲の一つの値から、関数全体の収束、零点の個数、解析的性質を断定しないでください。証明、任意精度、複素変数が必要な用途では、NIST DLMFなどの一次資料と多倍長実装を併用し、用途に必要な誤差基準を別途定めてください。
• 有界な実数・安全整数の学習と検算用です。任意精度、複素変数、範囲外の解析接続は扱いません。

よくある質問