複素球ハンケル関数hν^(1)・hν^(2)と導関数の計算

使い方

1. 実数次数νと複素引数zの実部・虚部を入力して計算します。
2. hν^(1)、そのz導関数、hν^(2)、そのz導関数を4行の複素表で確認します。
3. 球面波の式へ使う場合は、時間因子と外向き・内向きの規約を結果と一緒に記録します。
4. 負実軸上と上下極限は同じ値とは限らないため、調べたい側の虚部を明示します。

計算式・考え方

hν^(1)=jν+iyν、hν^(2)=jν−iyνで、円柱Hankelとの関係はsqrt(π/(2z))H_(ν+1/2)です。高dynamic sectorではrecessiveな球Hankel解を独立接続で保持します。

注意事項

• 球Hankel関数はhν^(1)=jν+iyν、hν^(2)=jν−iyνと定義され、円柱Hankelへsqrt(π/(2z))を掛けて次数をν+1/2へずらした関数です。大文字Hと小文字hを取り違えると振幅と原点近傍の次数が変わります。
• 数学的なj±iyの関係は常に保たれますが、複素平面の高dynamic sectorで巨大なjとyを個別に丸めてから減算すると小さいh成分を失います。数値coreはrecessiveな球Hankel解を直接解析接続し、well-conditionedな点だけ線形結合でも照合します。
• 球Hankelが解く方程式はz²w''+2zw'+{z²−ν(ν+1)}w=0です。一次導関数の係数は2zで、円柱Hankelのzとは違います。参照式や自作コードを比べるときはこの係数を先に確認します。
• 導関数はh′ν=h_(ν−1)−(ν+1)hν/z=−h_(ν+1)+νhν/zです。プライムは複素引数zによる微分であり、次数νや波数そのものによる微分ではありません。合成関数へ代入する場合は外側の微分係数が別に必要です。
• 正の実引数かつ実数次数ではh1とh2が共役になりますが、一般の複素引数では成立しません。下半平面の値を上半平面の単純共役で補う処理をせず、指定したzで両方を独立に保持します。
• 球面波の外向き・内向きという説明はexp(−iωt)かexp(+iωt)かで変わります。Helmholtz方程式の境界条件、波数の符号、時間規約を持たないこのツールは、どちらを採用すべきか判定しません。
• Wronskian h1(h2)′−(h1)′h2=−2i/z²で値と導関数を検算します。球j/y経路、円柱Hankelの半次数shift、独立高精度oracleを条件に応じて使い分け、一つの不安定な差だけを正本にしません。
• 検索語は『球ハンケル関数 計算』『spherical Hankel h1 h2』『球ハンケル関数 導関数』『Helmholtz 球ハンケル』を意識します。このページは多重極展開や境界条件の可視化全体ではなく、指定1点の特殊関数値を返します。
• 共通安全域は有限実数次数−20≤ν≤20、有限複素引数1e−4≤|z|≤50です。実部と虚部が個別に±50以内でも、40+40iのように絶対値が50を超える点は計算しません。第2種を同時に返すためz=0も全ページ共通で除外します。
• 負の実軸ちょうどはarg(z)=+πの上側principal valueとして固定します。下側境界値はIm(z)<0の別入力です。入力欄で−0を保持できることに依存せず、上下を比較するときは0でない小さな虚部と採用側を記録してください。
• 結果表はquantity、実部、虚部、絶対値、主偏角radの5列です。複素値を整形文字列だけへ変換せずReとImを数値として保持し、同じ内部値からhypotとatan2を求めます。厳密な0の偏角は未定義としてダッシュ表示します。
• 表示はIEEE 754 binary64を基礎とする最大15有効桁です。最大15桁を表示できることは15桁すべての正しさを保証しません。整数次数直近、零点近傍、巨大成分の相殺、overflow・underflow近傍では有効桁が減ります。
• 数値coreは正実軸の監査済み実数値をanchorにし、複素平面では微分方程式を有界なDormand–Prince 5(4)で解析接続します。最大8192 stepで目標へ達しない点、非有限入力、非有限結果は推測値を出さず入力エラーにします。
• これはNetlib AMOSの移植でも、全複素平面を保証する任意精度libraryでもありません。AMOSの有限性、branch、overflow、作業上限の考え方を照合した、指定安全域のunscaled scalar実装です。広い領域やscale値が必要なら別手段を使います。
• 入力は利用者のブラウザ内だけで評価され、サーバーや第三者へ送信・保存されません。外部API、CDN、fetch、XMLHttpRequest、WebSocket、位置情報、現在時刻、localStorageを必要とせず、1回の操作で1点だけを計算します。
• 一次資料は2026年7月15日にNIST DLMF第10章とNetlib AMOSを照合しました。確認URL: https://dlmf.nist.gov/10.2 , https://dlmf.nist.gov/10.6 , https://dlmf.nist.gov/10.11 , https://dlmf.nist.gov/10.25 , https://dlmf.nist.gov/10.29 , https://dlmf.nist.gov/10.47 , https://dlmf.nist.gov/10.51 , https://netlib.org/amos/
• 同じBesselという名前でも通常型、Hankel、球型、変形型では微分方程式、次数shift、平方根係数、branch、正規化が違います。外部libraryや論文と比較するときは関数記号だけでなく、ν、z、定義式、scale、偏角規約を揃えます。
• 計算結果は公式定義の学習と代表値の検算を補助します。研究、設計、規格適合の最終値として使う場合は、独立した高精度実装、残差、Wronskian、隣接次数式を組み合わせ、入力と出典の版を再現できる形で保存してください。
• 表をコピーするときはquantity列を削らず、関数値と導関数、第一種と第二種を区別したまま保存します。絶対値だけでは位相を復元できず、偏角だけでは大きさを復元できません。ReとImを正本として残し、丸め後の表示値から高精度な元値を再構成できるとは考えないでください。
• 同じ入力を別の計算環境で比較する場合は、実数次数か整数次数か、負実軸の上側か下側か、引数の単位と無次元化、導関数がzによるものかを先に揃えます。数値が一定係数や複素共役だけずれる場合は、誤差と決める前に正規化とbranch規約を式で確認してください。
• 指定した有界領域のbinary64主値です。任意精度、全複素平面、scaled値、零点保証、物理的な境界条件の判定は行いません。

よくある質問