Studentのt分布の密度・下側累積・上側累積グラフ（自由度ν）

使い方

1. 確率密度f、下側累積P、上側累積Qから表示する関数を選び、自由度νを入力します。既定値はfとν=2です。
2. x格子を指定します。既定は−5から5まで0.1刻みの101点で、原点の山と左右の尾を同じ範囲で比較できます。
3. 密度ではf(−x)=f(x)、累積ではP(−x)=Q(x)を確認し、異なるνを比べる場合は同じ格子でTSVを保存します。

計算式・考え方

実数x、ν>0でf(x;ν)=Γ((ν+1)/2)/(√(πν)Γ(ν/2))×(1+x²/ν)^(−(ν+1)/2)です。log Γの差、−0.5 log(πν)、−((ν+1)/2)log(1+x²/ν)を加えてexpします。支持域は全実数で、有限xと正のνに特異端点はありません。z=ν/(ν+x²)、I=I_z(ν/2,1/2)とし、x<0はP=I/2、x≥0はQ=I/2を直接評価して反対側を補数にします。

注意事項

• Studentのt分布は標準正規変数を独立なカイ二乗変数から作る尺度で割った比として現れます。小さい自由度では尺度の不確実性を反映して裾が厚く、νを大きくすると標準正規分布へ近づきます。本ページは位置0、尺度1の標準t分布で、標本平均の単位へ自動変換しません。
• SciPy公式scipy.stats.tとNIST/SEMATECH e-Handbookの密度式を照合しました。自由度はGamma関数を通して正の実数まで計算できますが、実際のt検定や回帰で使う自由度は標本数とモデルの定義に従います。非心度を持つnoncentral t分布は別分布であり、本ページには含めません。
• 密度は偶関数でf(−x)=f(x)です。既定格子は−5から5を同じ刻みで取るため、表の先頭と末尾、中央から同距離の行が一致します。左右が一致しない場合は、初期値と増分の浮動小数点丸めを確認し、比較するxを同じ絶対値に揃えてください。
• ν=1はCauchy分布に一致し、平均も分散も存在しません。1<ν≤2では平均は存在しますが分散は無限、ν>2で分散ν/(ν−2)が有限になります。曲線が滑らかに描けてもモーメントが存在するとは限らず、密度の見た目だけで正規近似の妥当性を決めないでください。
• t分布は左右対称なので、小さい尾を保つためx<0では下側Pを正則化Betaから直接求め、x≥0では上側Qを直接求めます。反対側だけを1から引き、中心x=0ではP=Q=0.5になります。
• 確率密度f(x)は一点の発生確率ではなく、連続分布の一点確率は0です。下側累積P(x)はX≤xの左側面積、上側累積Q(x)はX>xの右側面積で、同じxならP+Q=1です。fは密度、PとQは0〜1の確率なので、縦軸の高さを三つの関数間で直接比較しないでください。
• 標本番号i=0,…,n−1についてx_i=x初期値+i×x増分を評価します。線は隣接する有限標本値を視覚的に結ぶだけで、その間を追加計算したものではありません。山頂や急変部を詳しく見るときは範囲を狭めて刻みを細かくし、重要なxが格子へ含まれるように調整してください。
• 点数は端末負荷を一定に保つため1〜201点へ有界化しています。増分を負にすると同じ支持域を右から左へ確認でき、1点だけの評価も可能です。増分0と支持域外へ出る最終点は、重複表や無意味な延長を作らないよう送信前の項目エラーとして示します。
• 支持域端点で密度の極限が有限なら0または解析値を返します。一方、形状母数によって+∞へ発散する端点は最大値や大きな有限値へ置き換えず、そのセルを「未定義」として線を切ります。これは式の不具合ではなく密度関数の特異性であり、端点直後の正のxを含めると曲線の立ち上がりを確認できます。
• 密度は対数形で組み立て、最後にexpを一度適用します。xのべき、Gamma関数、尺度係数を先に巨大な積や商へするとオーバーフローしやすいためです。それでも倍精度より小さい裾は0へ丸まり得ます。0は必ずしも数学的に厳密な0ではないので、極端な尾の対数密度が必要な用途には使わないでください。
• 累積P・Qは正則化不完全GammaまたはBeta関数の安定な向きを直接評価します。小さい上側確率を常に1−Pだけで作ると、Pが倍精度で1へ丸まった時に有効桁を失います。Gamma系は専用Q、Beta系は引数と形状を入れ替えた対称式を使い、t分布はxの符号で小さい側を直接選びます。
• グラフが主結果ですが、色や形だけに依存しない同値の表を併記し、全行をTSVでコピーできます。数値照合では画像の高さではなく表のxと選択した関数値を正本にしてください。表示は最大15有効桁で、異なるライブラリ、CPU、母数範囲では丸め順によって末尾桁が異なる場合があります。
• 計算はschema v4のsampled-series-v1と許可制ASTを使い、各xを利用者の端末内で独立評価します。eval、new Function、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocketは使用しません。入力値と生成系列は外部へ送信・保存されず、WordPressへの書込み、下書き作成、公開も行いません。
• 密度・累積・上側確率の式と母数化は2026年7月13日にNIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods、NIST Engineering Statistics HandbookおよびSciPy公式scipy.statsリファレンスで照合しました。参照ページの既定格子は保ちつつ、静止画像ではなく再計算できるSVG、表、TSVへ置き換えています。
• 指定した理論分布・母数の密度・累積グラフです。データへの適合、母数推定、仮説検定、医療・品質・監査上の結論を保証しません。

よくある質問