スチューデント化範囲の下側P・上側Qパーセント点

使い方

1. 下側Pまたは上側Qを選び、1e−12〜1−1e−12の確率、k、自由度ν、範囲数cを入力します。
2. kが比較対象数、νが共通尺度の自由度、cが最大を取る範囲数であることを解析資料と照合します。
3. 逆算した非負のqと、同じqを順方向へ戻したP・Qを読み、選択した側が入力確率へ戻ることを確認します。
4. P+Q≈1と順方向・逆方向の往復を確認し、入力、P/Qの向き、計算日を結果と一緒に保存します。

計算式・考え方

W=max_j(max_i Z_{ji}−min_i Z_{ji})/√(V/ν)とします。下側モードはPr(W≤q)=pを満たすq=PPF(p;k,ν,c)、上側モードはPr(W>q)=pを満たすq=ISF(p;k,ν,c)です。0≤q≤1億で目標確率を挟めることを確認してから有界逆計算します。

注意事項

• 下側P=0.95と上側Q=0.05は理論上同じqです。ただし右裾が小さい場合に1−Pだけへ変換すると有効桁を失い得るため、上側モードはQをISFへ直接渡します。戻し計算の両側確率で方向を検算します。
• 既定値P=0.95、k=5、ν=5、c=1ではq≈5.673124435です。順方向ページの既定値5.673は小数第3位までの近似なのでP≈0.949995894となり、完全な0.95ではありません。この差を隠さず別々に表示します。
• 確率0と1は支持端点0または無限大を含むため入力対象から外します。内側の確率でもνが小さく右裾が重い場合はqが大きくなるため、1億で目標を挟めない入力は有限値へ丸めず明示的なエラーにします。
• cを増やすと最大を取る候補が増えるため、同じ下側Pに必要なqは一般に大きくなります。cを多重比較の比較対数へ機械的に置き換えず、採用した分布定義が共通分母の最大範囲を要求するか確認してください。
• 臨界値qを平均差の判定へ使うには、解析手法が定める標準誤差を別途掛ける必要があります。このページはqの分布逆関数のみを返し、Tukey HSDやTukey–Kramerの閾値を生データから自動構成しません。
• 定義を明確にするため、j=1,…,c、i=1,…,kについてZ_{ji}を互いに独立な標準正規量とし、各範囲R_j=max_i Z_{ji}−min_i Z_{ji}を作ります。さらにV~χ²(ν)を全Zから独立とし、共通尺度S=√(V/ν)で割ったW=max_j R_j/Sを計算対象とします。c=1なら通常のスチューデント化範囲です。
• 参照canonicalのrは1範囲に含む標準正規量の個数で、Rのptukey・qtukeyではnmeans、本ページではkと表記します。実験の各群に入った生データ件数や総標本数を無条件にrへ入れるものではありません。Tukey型の比較では比較する平均数kと誤差自由度νを、採用した解析手順から取得してください。
• cは最大を取る範囲数で、Rではnrangesです。c個の範囲には独立な正規量を使いますが、分母Sは共通です。したがってc>1のCDFは単純な『c=1の最終CDFのc乗』ではなく、共通Sで条件付けたE[H_k(qS)^c]です。異なる独立分母を持つc回の最大とは別の分布なので混同しないでください。
• 支持範囲はq≥0です。k≥2ならq=0で下側P=0、上側Q=1となります。qは確率ではなくスチューデント化された幅です。『95%点』はP=0.95を満たすqを意味し、q自体を95や0.95へ機械的に変換するものではありません。
• 下側PはPr(W≤q)、上側QはPr(W>q)で、連続分布ではP+Q=1です。小さい右裾を1−Pだけで作ると差の桁落ちが起こり得るため、本ページは上側Qと上側逆関数ISFを共有エンジンで直接評価します。P/Qの向きと等号の位置を記録してから臨界値やp値と比較してください。
• 自由度νが100,000を超える場合はSのばらつきを無視した無限自由度の漸近式へ切り替えます。ν=100,000ちょうどは有限自由度の積分です。これは入力値の丸めではなく計算経路の境界なので、境界付近の再現性確認ではνと使用経路を一緒に記録してください。
• 参照canonicalはrが大きくνが小さいほど誤差が大きくなると注意しています。正規範囲とカイ二乗尺度の数値積分は軽い四則演算より高負荷で、逆関数は複数回の順方向評価を必要とします。そこでk≤100、c≤100、q≤1億、ν≤1兆へ有界化し、計算は利用者の端末内で同期的かつ有限回に収めます。
• 結果はIEEE 754 binary64と有界数値積分による近似です。最大15有効数字の表示は任意精度の保証ではありません。特に極端な裾、小さいν、大きいk・cでは末尾桁へ依存せず、Rのptukey/qtukeyやSciPyのstudentized_rangeなど、同じk・ν・cの定義を持つ独立実装と代表点で照合してください。
• 分布定義、q・k・ν、nranges、P/Q、PPF/ISFはR stats公式Tukey資料、SciPy公式studentized_range資料、参照canonicalを2026年7月14日に照合しました。SciPyはdf>100,000で無限自由度近似を使うと明記し、Rはqtukeyの計算が比較的高価で精度に限界があると注意しています。資料間の記号差より定義式を優先します。
• Tukey HSD、Tukey–Kramer法、同時信頼区間などでqが現れても、標準誤差の係数や自由度の作り方は手法ごとに異なります。このページは分布関数と分位点だけを計算し、比較対、有意水準、モデル仮定、等分散性、欠測処理、採否、医学的・業務的判断を自動決定しません。
• 入力、積分、逆計算、結果表示は許可制JavaScriptだけで端末内に完結し、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocketを使いません。WordPress本文・追加CSS・追加JavaScriptへ分離でき、既存テーマのフォント、本文幅、見出し階層を上書きしません。ここではローカル成果物だけを作り、投稿・下書き・公開は行いません。
• このパーセント点逆算ページはcalculator-firstで、入力と結果をページ先頭近くへ置き、定義、使い方、検算、数値上の注意を後段に続けます。q、k（参照r）、ν、c（nranges）、P/Qの向き、計算日を保存し、q=0、P+Q≈1、順方向と逆方向の往復を組み合わせて確認してください。
• スチューデント化範囲分布の近似計算です。モデル適合、多重比較手順、個別判断を保証しません。

よくある質問