第2種完全楕円積分 E(k) 計算

使い方

1. −1≤k≤1の母数kを入力します。canonical既定値はk=0.1です。
2. 入力条件を確認し、「計算する」を押します。結果欄には楕円積分の無次元値を表示します。
3. kをparameter mで与えられた資料と比較するときは、m=k²へ換算してから照合します。
4. 結果をコピーする場合は関数名、入力値、角度単位、確認日も一緒に記録してください。

計算式・考え方

E(k)=∫[0,π/2] √(1−k²sin²θ)dθ を計算します。−1≤k≤1では端点を含め有限です。

注意事項

• E(k)は振幅φ=π/2の第2種不完全楕円積分です。E(0)=π/2、E(±1)=1であり、第1種Kと違って単位母数の端点でも有限に収束します。
• √(1−k²sin²θ)が全区間で実数となるcanonical範囲−1≤k≤1を採用します。k=±1では被積分関数が|cosθ|となり、0からπ/2までの積分は1です。
• 半長軸a、離心率eの楕円周長は4aE(e)で表せます。ここで入れるkは離心率eであり、扁平率やe²をそのまま入れない点が重要です。曲線長、機械部品、型紙の検算にも使えます。
• K(k)−E(k)はk²D(k)と関係します。kが小さいとKとEはいずれもπ/2に近い一方、kが増えるとKは増加しEは減少するため、二つの完全積分を同じものとして扱えません。
• k=0.1ではE=1.56686194202166829でcanonical POSTと一致します。k=1は1、k=0はπ/2です。楕円周長でm=e²を使う資料と比較するときは入力規約を確認してください。
• E(−k)=E(k)、E(0)=π/2、E(1)=1が基本の検算点です。0≤k≤1ではEは単調に減少します。楕円が円へ近づくe→0で周長4aE(e)が2πaへ戻ることも、図形公式を含めた実用的な整合確認になります。
• 『楕円 周長 正確 計算』の用途では、長半径aと離心率e=√(1−b²/a²)を用意します。短半径bをそのままkへ入れたり、扁平率1−b/aを離心率とみなしたりすると別の値になります。このページはEだけを返すため、最終的な長さには4aを掛けてください。
• 第2種完全楕円積分 E(k)について: この計算は入力から結果表示までブラウザ内で完結します。外部APIへ入力値を送らず、サーバー側で数値積分を繰り返しません。固定回数上限を持つCarlson対称積分の重複法を使うため、端末の計算資源だけで応答し、通信状態に左右されず検算できます。
• 第2種完全楕円積分 E(k)について: 記号kはLegendre楕円積分の母数modulusです。SciPyやMATLABなど一部の資料・関数が使うparameter mとはm=k²の関係です。たとえばこのページでk=0.5を指定すると、mを取る関数には0.25を渡します。kとmの取り違えは数値不一致の代表原因です。
• 第2種完全楕円積分 E(k)について: 数値計算はNIST DLMF §19.25のLegendre積分とCarlsonのRF、RD、RJの関係を用い、§19.36の重複法に沿って差を反復的に縮小します。反復は64回を上限にし、収束しない値を近似値へ黙って置き換えません。式と計算法は2026年7月13日に照合しました。
• 第2種完全楕円積分 E(k)について: 表示値はJavaScriptのIEEE 754 binary64相当で最大15桁に整形します。特異点へ近づくほど関数値と条件数が大きくなり、入力末尾の小さな差が結果へ強く反映されます。高精度論文や任意精度計算を置き換えるものではなく、通常精度の設計・学習・実装検算向けです。
• 第2種完全楕円積分 E(k)について: このページは有限な通常の実積分を対象とします。複素数への解析接続、分母の極をまたぐCauchy主値、発散積分へ便宜的な有限値を割り当てる処理は行いません。入力条件を満たさない場合は対象欄を明示して停止するため、結果だけを見て定義域外に気づかない事故を防げます。
• 第2種完全楕円積分 E(k)について: 楕円積分は単振り子の周期、楕円弧長、電磁気、弾性、確率分布の変数変換などに現れます。ただし実際の物理量へ適用するときは、無次元化、単位、境界条件、採用するkまたはmの規約を元の式で確認してください。この計算値だけで安全率や設計可否を決めないでください。
• 第2種完全楕円積分 E(k)について: 実際の検算では、まず既定値を計算して表示桁と入力規約を確認し、次にゼロ、符号反転、完全積分へ戻る端点など既知の関係を一つずつ試します。その後で目的の入力を計算し、結果を別のソフトへ渡すときは画面表示を手入力せずコピーボタンを使います。末尾桁の差は二進浮動小数と表示丸めで生じるため、全桁一致だけを合否基準にせず、絶対誤差と相対誤差、特異点からの距離を併記してください。同じ値を再現するには関数の種類、引数順、kかmか、角度単位、使用した桁数を記録します。
• 有限な通常の実数楕円積分を学習・検算するツールです。Cauchy主値、複素値、任意精度は扱いません。

よくある質問