Gamma分布の密度・下側累積・上側累積グラフ（形状a・尺度b）

使い方

1. 確率密度f、下側累積P、上側累積Qから表示する関数を選び、形状母数aと尺度母数bを入力します。既定はf、a=3、b=1です。
2. x格子を非負範囲で指定します。既定は0から10まで0.1刻みの101点で、山頂と右裾を観察できます。
3. 他ソフトと照合するときはbがscaleであることを確認し、密度・P・Qの同じ関数同士を比較します。rate βならb=1/βへ変換します。

計算式・考え方

x>0、a>0、scale b>0でf(x;a,b)=x^(a−1)e^(−x/b)/(b^aΓ(a))です。log f=(a−1)log x−x/b−a log b−log Γ(a)を評価します。x=0はa>1なら0、a=1なら1/b、0<a<1なら+∞へ発散するため未定義セルです。P=P_reg(a,x/b)、Q=Q_reg(a,x/b)を専用関数で直接評価します。

注意事項

• Gamma分布にはscale表記とrate表記があり、同じ文字bやβが逆の意味で使われることがあります。本ページのbはscaleで、平均a×b、分散a×b²です。NIST Engineering Statistics Handbookのshape α・scale βの式と、SciPy公式のscale変換を照合しました。rateをそのままb欄へ入れると曲線の横幅が逆になります。
• a=1は平均bの指数分布となり、原点の密度は1/bです。a>1では原点が0で、最頻値(a−1)bに内側の山を持ちます。0<a<1では原点で発散し、そこから単調に減少します。端点の発散をグラフ上の任意の高さへ切り詰めず、未定義セルと第1正点の密度を分けています。
• カイ二乗分布はa=ν/2、b=2のGamma分布です。この対応は式の検算には使えますが、本ページは自由度ではなくshape/scaleを直接受け取ります。待ち時間、故障時間、Bayes事前分布など用途ごとに母数の意味が異なるため、曲線の形だけでデータへの適合を判断しないでください。
• 尺度bを変えると曲線は横方向にb倍、縦方向に1/b倍されます。比較するときにx範囲を固定したままbだけ大きくすると、山が画面外へ移って曲線がほぼ0に見える場合があります。平均a×bや最頻値(a−1)bを目安にx初期値と最終点を調整してください。
• 累積PとQは同じ標準化変数x/bを使います。極端な右裾ではregularized_gamma_qを直接呼ぶQを選び、Pの表示値を1から引く方法を避けます。左端ではP=0、Q=1を正則化Gamma関数の端点として返します。
• 確率密度f(x)は一点の発生確率ではなく、連続分布の一点確率は0です。下側累積P(x)はX≤xの左側面積、上側累積Q(x)はX>xの右側面積で、同じxならP+Q=1です。fは密度、PとQは0〜1の確率なので、縦軸の高さを三つの関数間で直接比較しないでください。
• 標本番号i=0,…,n−1についてx_i=x初期値+i×x増分を評価します。線は隣接する有限標本値を視覚的に結ぶだけで、その間を追加計算したものではありません。山頂や急変部を詳しく見るときは範囲を狭めて刻みを細かくし、重要なxが格子へ含まれるように調整してください。
• 点数は端末負荷を一定に保つため1〜201点へ有界化しています。増分を負にすると同じ支持域を右から左へ確認でき、1点だけの評価も可能です。増分0と支持域外へ出る最終点は、重複表や無意味な延長を作らないよう送信前の項目エラーとして示します。
• 支持域端点で密度の極限が有限なら0または解析値を返します。一方、形状母数によって+∞へ発散する端点は最大値や大きな有限値へ置き換えず、そのセルを「未定義」として線を切ります。これは式の不具合ではなく密度関数の特異性であり、端点直後の正のxを含めると曲線の立ち上がりを確認できます。
• 密度は対数形で組み立て、最後にexpを一度適用します。xのべき、Gamma関数、尺度係数を先に巨大な積や商へするとオーバーフローしやすいためです。それでも倍精度より小さい裾は0へ丸まり得ます。0は必ずしも数学的に厳密な0ではないので、極端な尾の対数密度が必要な用途には使わないでください。
• 累積P・Qは正則化不完全GammaまたはBeta関数の安定な向きを直接評価します。小さい上側確率を常に1−Pだけで作ると、Pが倍精度で1へ丸まった時に有効桁を失います。Gamma系は専用Q、Beta系は引数と形状を入れ替えた対称式を使い、t分布はxの符号で小さい側を直接選びます。
• グラフが主結果ですが、色や形だけに依存しない同値の表を併記し、全行をTSVでコピーできます。数値照合では画像の高さではなく表のxと選択した関数値を正本にしてください。表示は最大15有効桁で、異なるライブラリ、CPU、母数範囲では丸め順によって末尾桁が異なる場合があります。
• 計算はschema v4のsampled-series-v1と許可制ASTを使い、各xを利用者の端末内で独立評価します。eval、new Function、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocketは使用しません。入力値と生成系列は外部へ送信・保存されず、WordPressへの書込み、下書き作成、公開も行いません。
• 密度・累積・上側確率の式と母数化は2026年7月13日にNIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods、NIST Engineering Statistics HandbookおよびSciPy公式scipy.statsリファレンスで照合しました。参照ページの既定格子は保ちつつ、静止画像ではなく再計算できるSVG、表、TSVへ置き換えています。
• 指定した理論分布・母数の密度・累積グラフです。データへの適合、母数推定、仮説検定、医療・品質・監査上の結論を保証しません。

よくある質問