第1種Kelvin関数ber’_ν(x)・bei’_ν(x)を実数次数でグラフ計算

使い方

1. 実数次数ν、xの初期値、増分、点数を入力します。
2. ber'_ν(x)とbei'_ν(x)を同じ正の実数格子で計算します。
3. 関数値ページと比較し、極値候補、傾きの符号、位相係数を確認します。

計算式・考え方

ber'_ν(x)=d ber_ν(x)/dx、bei'_ν(x)=d bei_ν(x)/dxです。DLMF 10.61.1をxで微分すると ber'_ν(x)+i bei'_ν(x)=exp(3πi/4) J'_ν(x exp(3πi/4)) となり、引数微分の位相係数を含みます。

注意事項

• プライムは次数νによる微分ではなく実引数xによる一次微分です。複素Bessel J'_νの値をそのまま実部・虚部に分けるだけではなく、合成関数の微分によるexp(3πi/4)を掛けます。この係数を落とすとber'とbei'が回転・混合され、別の値になります。
• ber'またはbei'の符号が標本点間で変われば元関数の極値が間にある可能性がありますが、直線の交点は厳密な導関数零点ではありません。元のber・beiグラフと同じx格子で比較し、必要なら専用の求根器で微分値そのものを再評価してください。
• x→0の導関数はνによって0、有限、発散に分かれ、一般実数次数では枝の扱いも必要です。関数値ページより原点近傍が敏感なのでx=0を受け付けず、共通下限0.0001を採用します。小さいxでは絶対誤差と次数を必ず併記してください。
• 第1種Kelvin関数の定義はNIST DLMF §10.61.1、導関数と漸化式は§10.63、大引数での導関数展開は§10.67を2026年7月15日に照合しました。プライムはx微分です。
• 本ページ群は次数νを整数へ丸めず、−20以上20以下の有限な実数として扱います。引数xは0.0001以上50以下の正の実数です。実数次数で負のxを指定すると、べき乗の枝や複素位相を選ぶ必要があり、同じ記号でも実数値だけには定まりません。そのため負のxは受け付けず、複素引数の実部だけを取り出すような縮約もしません。
• x=0は関数と次数によって、有限値、0、発散、枝点のいずれにもなり得ます。たとえば第1種Kelvin関数は一般の実数次数で原点に枝点を持つ一方、整数次数では枝点が消える場合があります。Struve関数も級数先頭のx^(ν+1)とガンマ関数の極が組み合わさるため、単純に0を代入できません。UIは全6ページ共通でx≥0.0001とし、原点極限を一律の数値へ置き換えません。
• 計算はschema v3のdeclarative-v1またはschema v4のsampled-series-v1から、固定名で許可した有界な実数評価関数だけを呼びます。利用者が入力した式やコードをeval、new Functionで実行せず、外部API、CDN、fetch、XMLHttpRequest、WebSocketも使いません。入力範囲、標本数、反復上限、有限性を検査し、安全に倍精度値を返せない場合は推測値で埋めません。
• 次数、引数、生成した数値列は利用者のブラウザ内だけで処理され、サーバーや第三者へ送信または保存されません。WordPressの本文、追加CSS、追加JavaScriptで完結できる構成を前提にしたローカル成果物です。builderの実行だけで下書き作成、既存記事更新、本番公開を行うことはありません。
• グラフの横軸はx_i=xの初期値+i×増分（i=0,1,…,点数−1）で作り、1〜201点を直線で結びます。これは標本線であり、点間を追加評価した補間曲線、零点探索、極値探索ではありません。符号が変わる点間に根がある可能性はありますが、画面上の交点を高精度の零点として使わず、範囲を狭めて増分を小さくするか専用の求根法で再確認してください。
• 大きいxでは関数ごとの性格が強く現れます。通常Struve HνはBessel型の振動成分と代数的成分を含み、変形Struve Lνはmodified Bessel Iνに近い急増成分を含みます。第1種Kelvin関数berν、beiνも複素方向へ回転したBessel関数に由来し、振動しながら振幅が急増します。同じ縦軸では小さい成分が見えにくいため、表の指数表記も確認してください。
• 表示値はIEEE 754 binary64を基礎とする最大15桁の有効数字です。級数の打切り、漸近式への切替え、近接する大きな項の相殺、非常に小さい値の丸めにより誤差が増えることがあります。値が0に近い点は絶対誤差、大きい点は相対誤差も確認し、研究・設計・規格適合の最終値には任意精度ライブラリや独立した数表を併用してください。
• NIST Digital Library of Mathematical Functions（DLMF）のStruve定義§11.2、基本性質§11.4、大引数展開§11.6、Kelvin定義§10.61、導関数§10.63、大引数展開§10.67を2026年7月15日に一次資料として照合しました。各ページの式はそこで使われるDLMFの記号と位相規約を明記します。DLMFの更新日と、本ツールの数値確認日を混同しないでください。
• 特殊関数を物理モデルへ使うときは、関数値だけでなく微分方程式、境界条件、単位、無次元化、線形結合係数を確認してください。熱伝導、波動、電磁場、拡散、円柱座標の問題で似た記号が現れても、採用する枝、正規化、次数の意味が一致するとは限りません。入力したνとx、使用した関数名、位相規約を結果と一緒に記録してください。
• この初版は正の実引数と実数次数だけを対象とします。複素引数、複素結果、負の実引数、任意精度、次数微分、積分、零点、逆関数は非対応です。別ソフトと比較するときは、Struve Hとmodified Struve L、第1種Kelvinのber・bei、またはそれらのx微分のどれかを確認し、文字の省略やプライム記号の脱落による取り違えを避けてください。
• −20≤ν≤20、0.0001≤x≤50、最大201点の倍精度実数標本です。複素値と任意精度は扱いません。

よくある質問