第3種Kelvin関数herν(z)・heiν(z)と導関数の複素計算

使い方

1. 実数次数νと複素引数zの実部・虚部を入力します。
2. herν(z)、her′ν(z)、heiν(z)、hei′ν(z)を4行で表示します。
3. 第2種との係数2/(iπ)、成分交換、符号を確認し、Hankelの時間規約とは分けて記録します。

計算式・考え方

参照canonicalの第3種という名称に合わせ、her_ν(z):=(2/π)kei_ν(z)、hei_ν(z):=−(2/π)ker_ν(z)と定義して各z導関数も評価します。正の実xではher_ν+i hei_ν=H_ν^(1)(x exp(3πi/4))と整合します。

注意事項

• 第3種her・heiは回転した第1種Hankel関数に対応します。記号herをエルミート、誤差関数、通常のHankel Hと混同せず、Kelvin関数の次数と引数を添えて記録します。
• このページが採用するcanonical正規化ではher=(2/π)kei、hei=−(2/π)kerです。係数の大きさだけでなく関数の交換と負号が必要で、導関数にも同じ線形変換を適用します。DLMFはher・heiという記号自体を定義していないため、出典では第2種とHankelの式までを照合します。
• 第3種という名称とher・heiの記号は参照canonical（ID 1206955774）に対応させています。一方、数値定義の根拠はDLMF 10.61.E2から導く第2種との線形関係です。名称の出典と数式の一次資料を分け、DLMFがher・heiを直接掲載しているかのようには扱いません。
• Hankel第1種を外向き波と呼ぶ解釈は採用する時間因子に依存します。この数値ページは関数値を返すだけで、物理的な放射条件、境界条件、媒質定数を自動選択しません。
• 参照canonicalで第3種Kelvin関数と呼ぶher・heiを、第2種との係数関係まで含めて確認するページです。通常Hankel H1・H2の任意複素引数計算とは名称と正規化を分けます。
• her・heiは参照canonicalの表示名であり、DLMFが独立のKelvin関数記号として定義する名称ではありません。本ページは名称を再現しつつ、数値はher=2kei/π、hei=−2ker/πという明示的な定義へ固定します。
• この線形変換ではherがkeiから、heiがkerから作られるため、同じ添字の文字だけを対応させると取り違えます。さらにhei側には負号があります。値と導関数の四行で同じ交換・係数を適用し、表のquantity名を残します。
• 正の実xではher+i heiが回転したHankel第1種と一致しますが、一般の複素zではherとhei自体が複素値です。単一のHankel値をJavaScriptの実部・虚部へ分けただけでは、採用した解析接続の二関数を再現できません。
• 第3種のbranchと公開範囲は元になるker・keiと同じです。係数2/πは特異点やcutを消さないため、原点を有限化したり非整数次数の負実軸を別規約へ読み替えたりせず、第2種と同じ入力拒否条件を適用します。
• 通常のHankel H1・H2ページはBessel方程式の引数zを直接受け取りますが、このページのher・heiはKelvin用の回転関係と正規化を含みます。両者を比較するときはHの引数がzではなくz exp(3πi/4)である点を揃えます。
• 物理的な外向き波・内向き波という呼び方は時間依存の符号規約に左右されます。her・heiという名称だけで放射条件を選ばず、モデルの時間因子、空間座標、境界条件から必要なHankel種と回転方向を確認します。
• 第2種ページの結果から第3種を再計算する場合、表示後の丸め値へ2/πを掛けると最終桁が本ページと少し異なることがあります。精密比較では丸め前の同一core値を使い、表示値同士の差を定義差と誤認しません。
• Kelvin関数はBessel方程式の引数を複素方向へ回転して得られる特殊関数です。このページ群ではDLMFが定義するber、bei、ker、keiを複素zへprincipalに解析接続し、第3種ページでは参照canonicalのher、heiを第2種から定義します。各関数値とzによる一次導関数を独立した複素数として返し、実数x専用の二つの実成分表を虚部を捨てたまま複素入力へ流用しません。
• 実数xではberとbeiなどを一つの回転Bessel値の実部・虚部として読めます。しかしz自体が複素数ならber_ν(z)もbei_ν(z)も一般に複素値です。したがって単一の複素結合をJavaScriptのReal/Imagへ分解するだけでは標準的な二つの解析関数を再現できず、DLMFの対になる接続式またはべき級数を使います。
• 次数νは−20以上20以下の有限な実数、引数は0.3≤|z|≤30です。複素次数、z=0、範囲外の値は扱いません。非整数次数ではz^νを含むため負の実軸がprincipal branchのcutになります。曖昧な軸上値を推測しないため、νが非整数でIm(z)=0かつRe(z)<0の入力を拒否します。
• 負実軸の上側または下側の極限が必要なら、0ではない小さな正または負の虚部を入力し、採用側を数値と一緒に保存してください。入力欄が−0の符号を保持することには依存しません。整数次数の負実軸は一価化できる場合もありますが、整数用の位相則を非整数νへ延長してはいけません。
• 第1種ber・beiは一部のsectorで指数的に増加し、第2種ker・keiと第3種her・heiは別のsectorで減衰または増加します。同じ|z|でも偏角によってdynamic rangeが大きく異なります。片方の系列が小さく見えても0とは限らず、実部・虚部と指数表記を確認します。
• プライムは複素引数zによる一次導関数です。次数νの微分ではなく、実数xだけを動かした差分にも限定されません。回転Bessel関数を微分するときは合成関数の回転係数が必要であり、J'、K'、H'の値を係数なしでそのままber'、ker'、her'へ置き換えると位相が変わります。
• 第3種のher、heiはDLMF固有の記号ではありません。本サイトでは参照canonicalの規約を明示的に採用し、her_ν(z):=(2/π)kei_ν(z)、hei_ν(z):=−(2/π)ker_ν(z)と定義します。正の実xではher+i hei=(2/(iπ))(ker+i kei)となり、DLMF 10.61.E2の回転Hankel式と整合します。別資料と比較するときは記号名だけで一致を判断しません。
• 表示はbinary64の最大15有効桁で、scaled値や任意精度値ではありません。整数次数直近の接続式では巨大な近接項の相殺が起こり得るため、単純なsin(πν)の差商だけに頼らず整数極限を安定化します。零交差付近は相対誤差だけでなく絶対誤差も確認してください。
• 同じ記号でも文献によって回転角の符号、次数に掛ける指数位相、第3種の正規化が異なる場合があります。数表の数値だけを見て符号誤りと判断せず、ber+i bei、ker+i kei、her+i heiをどのBessel関数とどの回転引数へ結んでいるかを式で照合します。本ページ群はNIST DLMFの規約を正本にします。
• 数値検算では正の実軸の既知実値、一般の複素点、整数次数、整数直近、最小|z|、最大|z|、branch cutの上下を分けます。関数値と導関数を一緒に調べ、Kelvin方程式や線形接続式だけでなく独立高精度oracleとも比較します。一つの恒等式が合うことを全sectorの精度保証とはみなしません。
• 計算は1入力点につき四つのquantityを返す有界scalar処理です。グラフ、零点・極値探索、複素積分、逆関数、物理モデルの境界条件選択は実行しません。熱伝導、表皮効果、円柱問題へ使うときは無次元化、時間因子、回転角、関数種をモデル側で確認してください。
• 結果表の正本はquantity、Re、Im、|w|、arg(w)[rad]の五列です。主偏角はatan2で−πからπの範囲に表示し、厳密な0の偏角は未定義として扱います。絶対値と偏角だけを保存すると象限や小成分を失うため、再利用時はReとImも残してください。
• 入力と計算結果は利用者の端末内だけで処理され、外部API、CDN、fetch、XMLHttpRequest、WebSocket、Cookie、localStorageを使いません。計算ボタンを押した後も入力した次数や複素引数を外部へ送らず、同じ画面内のJavaScriptだけで結果表を組み立てます。
• 定義とbranchはNIST DLMF §10.61（https://dlmf.nist.gov/10.61）、導関数と漸化式は§10.63（https://dlmf.nist.gov/10.63）、べき級数は§10.65（https://dlmf.nist.gov/10.65）、変形Bessel関数の解析接続は§10.34（https://dlmf.nist.gov/10.34）、正の実軸上の大引数漸近展開は§10.67（https://dlmf.nist.gov/10.67）を2026年7月15日に照合しました。比較時はprincipal branch、回転角、次数、z微分を式単位で確認してください。
• −20≤ν≤20、0.3≤|z|≤30のbinary64 principal Kelvin値です。非整数次数の負実軸cut、任意精度、scaled値は扱いません。

よくある質問