ランジュバン関数L(x)のグラフ・表を原点近傍も安定計算

使い方

1. ランジュバン関数にはJの入力がありません。有限Jのブリルアン関数ではなく、J→∞の古典極限L(x)を描くページであることを確認します。
2. xの初期値、0以外の増分、1〜201点のサンプル点数を入力します。既定では−5から5まで0.1刻みで、x=0が中央の行に入ります。
3. 計算ボタンでランジュバン関数を描き、奇関数の符号、原点の連続値、正負の飽和方向をグラフと表の両方で確認します。
4. 検算や再描画にはTSVコピーを使います。関数名、J、x格子、丸め前の表値を保存し、材料固有の係数や単位を掛けた物理モデルとは区別してください。

計算式・考え方

L(x)=coth(x)−1/xです。x=0では連続値L(0)=0、|x|<0.1ではL=x/3−x³/45+2x⁵/945−x⁷/4725+O(x⁹)を使います。それ以外はcoth x=(e^(2x)+1)/(e^(2x)−1)を符号・大引数で分岐して評価します。

注意事項

• ランジュバン関数は実数上の奇関数で、L(−x)=−L(x)、L(0)=0です。正の大きなxで1、負の大きなxで−1へ近づき、既定−5〜5の格子で原点と両側の飽和を一度に確認できます。
• 原点ではcoth(x)と1/xが個別に発散し、素朴な差は∞−∞または大きな近似値同士の桁落ちになります。本ページはx=0を遅延分岐し、|x|<0.1では相殺後のLaurent級数だけを評価します。
• 小引数の先頭項はL(x)≈x/3です。非常に弱い場や高温側の線形応答を読むときは原点付近を細かく刻み、x=0を格子へ明示的に含めると傾き1/3を表から検算できます。
• ランジュバン関数はブリルアン関数B_J(x)のJ→∞極限です。有限の量子数Jが必要な問題では別ページのB_Jを使い、大きな有限Jを厳密な無限大へ読み替えないでください。
• このページのL(x)は無次元関数であり、材料の磁化、双極子配向、ポリマー伸長などの物理量そのものではありません。実モデルではxの無次元化、係数、相互作用、温度依存を別に定義します。
• |x|>20ではcoth(x)が倍精度で符号1と区別しにくくなるため極限符号へ分岐します。ただしL(x)には−1/x項が残るので、関数全体を±1へ早期固定せず、有限xの漸近補正を保持します。
• 逆ランジュバン関数、複素引数、物質固有の自己無撞着方程式は対象外です。指定格子の前向き値だけを決定的に返し、逆問題や相転移の解をグラフから自動判定しません。
• NIST DLMF 4.28.1〜4.28.7の双曲線関数定義と4.33のMaclaurin/Laurent展開を2026年7月13日に確認し、cothの指数形と小引数級数を照合しました。
• 奇対称性、L(0)=0、J→∞のBrillouin極限を2026年7月13日に独立導出し、参照フォームPOSTのx=−1,0,1で±0.3130352855,0とも比較しました。
• サンプル番号iを0から点数−1まで取り、x_i=x初期値+i×x増分で作ります。点数には初期値と最終点の両方を含みます。増分を負にするとxは降順になり、同じ関数を右から左へ確認できます。増分0は参照ページで表列が崩れるため明示的に拒否します。
• 点数は1〜201へ有界化しています。線は隣接する計算点を視覚的に結ぶもので、点の間を追加評価した結果ではありません。急な折れ曲がりや飽和域を調べるときは、区間を狭めるか点数を増やし、重要なxが格子点に含まれるよう初期値と増分を選んでください。
• グラフが主結果ですが、色や線だけに依存しない同値のデータ表を必ず併記し、全行をTSVとしてコピーできます。表のxと各系列値が正本で、グラフはその可視化です。スクリーンリーダーでは結果の要約、列見出し、行データの順に確認できます。
• 式はschema v4のsampled-series-v1で各xを独立評価します。許可制ASTと既存named functionだけを使い、eval、new Function、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocketへ接続しません。入力と生成系列は利用者の端末内だけで処理され、サーバーや第三者へ送信・保存されません。
• グラフの形だけで学習性能、確率モデルの適合、工学現象の妥当性は判断できません。関数名、パラメータ、入力尺度、浮動小数点精度を合わせ、必要なら表の代表点を別実装と数値比較してください。低精度テンソルや量子化モデルでは倍精度の本ページと末尾桁や飽和開始位置が異なる場合があります。
• 実数関数を有限格子で標本化した学習・検算用グラフです。モデル性能、統計的適合性、設計安全性を判定しません。

よくある質問