F分布の下側P・上側Qから分位点を計算

F分布の下側P・上側Qから分位点を計算

下側Pまたは上側Q、分子自由度ν1、分母自由度ν2から中心F分布の有限パーセント点xを対称Beta逆変換で計算します。

入力

下側累積Pまたは上側累積Qを明示して選びます。PとQで同じ確率を入れると一般に符号・点が異なります。

有限の分位点を返すため、1e-15〜0.999999999999999に限定します。0または1の理論端点は±∞です。

0より大きい実数です。共有特殊関数の有限領域として100,000以下に限定します。

0より大きい実数です。共有特殊関数の有限領域として100,000以下に限定します。

使い方

  1. 下側Pまたは上側Q、累積確率、分子ν1、分母ν2を、問題文や検算元の記号と同じ順序で確認します。
  2. 0と1を除く確率と順序を固定した正の自由度を入力し、P/Q/I、前向き・逆、正規化の選択を見直します。
  3. 「計算する」を押し、選択した裾に対応する0以上のF分位点xを出力ラベルと式に照らして読みます。
  4. 補数和、対称性、前向き→逆の往復を確認し、丸め前の入力とソフトウェア版を記録します。

計算式・考え方

下側Pが小さいときz=I⁻¹_P(ν1/2,ν2/2)、x=ν2z/(ν1(1−z))。上側Qが小さいときw=I⁻¹_Q(ν2/2,ν1/2)、x=ν2(1−w)/(ν1w)。大きい確率は補数側の小さい裾へ切り替えます。

注意事項

  • 中心F分布の下側・上側分位点は、二つの独立なカイ二乗を各自由度で割った比の中心F分布について、ν1を分子、ν2を分母として密度・累積または分位点を求めるものです。参照ページの一つの計算目的を保ち、グラフや可変行表へ広げず、入力した有限実数から固定個数のscalar結果を返します。分布名や関数名が似ていても、正規化・非正規化、下側・上側、前向き・逆関数を出力名で区別します。
  • 式とパラメータ化は、NISTのF密度と z=ν1x/(ν1x+ν2)、w=ν2/(ν1x+ν2) による正規化Beta表現を使います。P側はz、Q側は交換した形状とw=1−zを直接逆算し、極端な上側で1−Pだけに依存しません。位置・尺度を暗黙に追加せず、自由度ν、ν1、ν2の順序、aとbの順序、xの意味を参照式どおりに固定します。別ライブラリと比べるときは引数順を最初に確認します。
  • 定義域は、xは0以上の有限値、分子・分母自由度はそれぞれ0より大きく100,000以下です。順序を入れ替えません。境界については、P=Q=0.5は自由度に応じた有限中央値です。0または1には0または+∞が含まれるため分位点入力から除外します。定義域外、有限倍精度で表せない分位点、非正規化値があふれる形状を便宜的な0や最大値へ置き換えず、該当入力のエラーとして示します。
  • 下側と上側は、下側P=I_z(ν1/2,ν2/2)、上側Q=I_w(ν2/2,ν1/2)をそれぞれ直接計算します。P+Q=1またはI_x(a,b)+I_(1−x)(b,a)=1という関係を検算に使いますが、小さい側の裾を1からの引算だけで作りません。上側は対称変換または専用Q関数を直接使い、極端な裾の有効桁を保ちます。
  • 逆関数では、小さい裾の正規化Beta逆関数を使い、算出xを前向きFページへ戻して同じPまたはQになることを検算できます。下側Pと上側Qは同じ数値を入力しても、t分布では符号が反転し、F分布では小さい点と大きい点になります。端点0・1は理論上無限になる分位点では有限入力域から除き、有限端点を持つ不完全ベータ逆関数では0と1をそのまま扱います。
  • 数値安定性は、zとwを1からの引算でなく共通分母から直接作り、分位点も小さいP側はz、小さいQ側はwの逆Betaを使い分けます。共有runtime 1.7の正規化不完全Gamma/Beta関数は級数・連分数・対称変換と反復上限を持ち、逆関数は区間を保った反復を使います。このページ側では巨大な固定段数ASTや無根拠な近似係数へ戻しません。
  • 結果の読み方は、下側Pと上側QはF軸の反対側を指定します。同じ確率でも一般に逆数ではなく、ν1・ν2交換時に関係が変わります。確率密度f(x)は一点の確率ではなく曲線の高さです。累積確率は区間の面積、パーセント点は指定面積に対応する横軸の値です。数値が得られても検定の採否、モデル適合、標本の独立性は自動判定しません。
  • 一次資料は、NIST/SEMATECH e-Handbook 1.3.6.6.5のF密度・CDF・自由度順と、DLMF 8.17の正規化Beta対称性を確認しました（確認日2026年7月13日）。NIST/DLMFの式、定義域、対称関係と参照ページの既定POST値を独立に照合し、文章やプログラムを複製していません。将来のruntime改定では同じ通常・境界・裾・往復ケースを再実行します。
  • 検算例は、ν1=3,ν2=5で下側P=0.2はx≈0.3372475270、上側Q=0.2はx≈2.2530173716です。通常点に加えて、中心、x=0または1、P/Qの補数、負側t、自由度や形状の下限外、逆関数の前向き往復を確認します。異常例では計算を続けず、NaNやInfinityを通常の有限結果に見せません。
  • このページが扱わない範囲は、非心F分布、分散比検定の採否、ANOVA表、標本からの自由度計算、位置・尺度変換は扱いません。複素引数、解析接続、任意精度、多変量分布、非心分布、標本からのパラメータ推定、p値の多重比較補正などは、それぞれ専用定義と検証が必要です。
  • 参照ページとの対応は、参照ページのP/Q、確率、ν1、ν2と単一分位点を維持し、既定下側P=0.2を再現します。追加出力は同じ式のP/Q/I、補数、正規化値、往復値など検算可能な内訳だけです。グラフ版canonicalや範囲走査を混ぜず、1ページ1ツールの固定入力・固定出力にしています。
  • 計算はブラウザ内で完結し、外部API、CDN、任意コード実行を使いません。重要な研究・品質保証では、採用した分布パラメータ、裾の向き、丸め前の確率、ソフトウェア名と版を記録し、R、SciPy、NIST表など独立実装でも照合してください。
  • 有限な実数とIEEE 754倍精度による学習・検算用の近似値です。検定結論、モデル妥当性、複素枝、任意精度を確定しません。

よくある質問

下側Pと上側Qはどう使い分けますか？

F分布は0以上で対称ではありません。同じ0.2でも下側Pは小さい点、上側Qは大きい点に対応します。Pは左または下側、Qは右または上側の面積です。連続分布では同じxに対しP+Q=1ですが、分位点入力で同じ数値をPとQへ入れると一般に別のxになります。

確率0または1を分位点へ入力できますか？

F分布のP=0はx=0ですがP=1は+∞、Qでは逆です。分位点ページは一貫して有限の開区間に制限し、前向きページのx=0は扱います。無限支持分布の分位点は端で±∞または+∞になるため、有限scalarページでは0・1を除外します。不完全関数の前向き端点と、有限区間[0,1]の不完全ベータ逆関数は別扱いです。

結果が統計ソフトと少し違うのはなぜですか？

自由度の順序、下側・上側、正規化、百分率と小数、非心・中心分布、途中丸め、表示桁が違う可能性があります。まず関数定義と引数順をそろえ、15桁すべてではなく相対・絶対誤差と前向き往復で比較してください。

この結果だけで仮説検定やモデル選択ができますか？

できません。分布値や分位点は計算部品です。検定には帰無仮説、片側・両側、統計量の定義、自由度の導出、前提条件、多重比較、事前に定めた有意水準が別途必要です。

入力値は外部へ送信されますか？

送信されません。この定義は端末内のJavaScriptだけで計算します。計算に不要な研究対象名、個人情報、未公開の測定値は入力せず、共有端末ではコピー先や画面履歴にも注意してください。

入力したx、自由度、形状a・b、累積確率はこの端末内だけで処理され、外部へ送信・保存されません。ツールは入力値から統計的結論や個人属性を推定せず、計算に不要な識別情報も要求しません。