第3種不完全楕円積分 Π(φ,n,k) 計算

使い方

1. φと角度単位、経路に極を作らないn、−1≤k≤1を入力します。既定値は60度、n=0.8、k=0.9です。
2. 入力条件を確認し、「計算する」を押します。結果欄には楕円積分の無次元値を表示します。
3. kをparameter mで与えられた資料と比較するときは、m=k²へ換算してから照合します。
4. 結果をコピーする場合は関数名、入力値、角度単位、確認日も一緒に記録してください。

計算式・考え方

Π(φ,n,k)=∫[0,φ] dθ/{(1−n sin²θ)√(1−k²sin²θ)} を周期延長して計算します。

注意事項

• n<1、|k|<1では被積分関数がπ周期なので、φ=mπ+rとしてΠ(φ,n,k)=2mΠ(n,k)+Π(r,n,k)と計算できます。rは主区間へ還元し、周期数を完全積分で保持します。
• |φ|≥π/2の経路はsin²θ=1を通るのでn<1−10⁻⁸を要求します。主区間では終点までの最大sin²を使い1−n sin²φ>10⁻⁸ならn>1も許可します。|k|=1の特異点と角度単位も別に検査します。
• 周期をまたぐ第3種積分、楕円座標、力学系の角変数を検算できます。n=0ならF(φ,k)へ戻るので、同じφ,kを第1種ページへ入れた結果との一致が実装確認に使えます。
• 比較対象canonicalは180度をx=sinπ=0へ落として0を返しますが、通常積分は2Π(n,k)です。本ページは周期延長を採用し、振幅の周回情報が消える不具合を修正しています。
• 60度、n=0.8、k=0.9ではΠ=1.81054697605315818でcanonical POSTと一致します。180度、n=0.8、k=0.5では0でなく7.750140377621616です。
• n=0でF(φ,k)へ一致すること、Π(−φ,n,k)=−Π(φ,n,k)、Π(φ+π,n,k)=Π(φ,n,k)+2Π(n,k)を確認します。60度の既定値だけでなく180度を試すことで、主区間の計算と周期加算の両方を一度に検査できます。
• 第3種の振幅形式は引数が多く、Π(n;φ|m)、Π(φ,n,k)、EllipticPi[n,φ,m]など表記が分かれます。このページは画面順にφ、n、kを取り、内部ではk²をCarlson式へ渡します。数値を共有するときは角度単位と引数順を省略しないでください。
• 第3種不完全楕円積分 Π(φ,n,k)について: この計算は入力から結果表示までブラウザ内で完結します。外部APIへ入力値を送らず、サーバー側で数値積分を繰り返しません。固定回数上限を持つCarlson対称積分の重複法を使うため、端末の計算資源だけで応答し、通信状態に左右されず検算できます。
• 第3種不完全楕円積分 Π(φ,n,k)について: 記号kはLegendre楕円積分の母数modulusです。SciPyやMATLABなど一部の資料・関数が使うparameter mとはm=k²の関係です。たとえばこのページでk=0.5を指定すると、mを取る関数には0.25を渡します。kとmの取り違えは数値不一致の代表原因です。
• 第3種不完全楕円積分 Π(φ,n,k)について: 数値計算はNIST DLMF §19.25のLegendre積分とCarlsonのRF、RD、RJの関係を用い、§19.36の重複法に沿って差を反復的に縮小します。反復は64回を上限にし、収束しない値を近似値へ黙って置き換えません。式と計算法は2026年7月13日に照合しました。
• 第3種不完全楕円積分 Π(φ,n,k)について: 表示値はJavaScriptのIEEE 754 binary64相当で最大15桁に整形します。特異点へ近づくほど関数値と条件数が大きくなり、入力末尾の小さな差が結果へ強く反映されます。高精度論文や任意精度計算を置き換えるものではなく、通常精度の設計・学習・実装検算向けです。
• 第3種不完全楕円積分 Π(φ,n,k)について: このページは有限な通常の実積分を対象とします。複素数への解析接続、分母の極をまたぐCauchy主値、発散積分へ便宜的な有限値を割り当てる処理は行いません。入力条件を満たさない場合は対象欄を明示して停止するため、結果だけを見て定義域外に気づかない事故を防げます。
• 第3種不完全楕円積分 Π(φ,n,k)について: 楕円積分は単振り子の周期、楕円弧長、電磁気、弾性、確率分布の変数変換などに現れます。ただし実際の物理量へ適用するときは、無次元化、単位、境界条件、採用するkまたはmの規約を元の式で確認してください。この計算値だけで安全率や設計可否を決めないでください。
• 第3種不完全楕円積分 Π(φ,n,k)について: 実際の検算では、まず既定値を計算して表示桁と入力規約を確認し、次にゼロ、符号反転、完全積分へ戻る端点など既知の関係を一つずつ試します。その後で目的の入力を計算し、結果を別のソフトへ渡すときは画面表示を手入力せずコピーボタンを使います。末尾桁の差は二進浮動小数と表示丸めで生じるため、全桁一致だけを合否基準にせず、絶対誤差と相対誤差、特異点からの距離を併記してください。同じ値を再現するには関数の種類、引数順、kかmか、角度単位、使用した桁数を記録します。
• 有限な通常の実数楕円積分を学習・検算するツールです。Cauchy主値、複素値、任意精度は扱いません。

よくある質問