第1種Kelvin関数berν(z)・beiν(z)と導関数の複素計算

使い方

1. 実数次数νと複素引数zの実部・虚部を入力します。
2. berν(z)、ber′ν(z)、beiν(z)、bei′ν(z)を4行で確認します。
3. 複素zではberとbei自体が複素値である点に注意し、ReとImを列名付きで保存します。

計算式・考え方

DLMF規約の第1種Kelvin関数ber_ν(z)、bei_ν(z)と各z導関数を評価します。正の実xではber_ν(x)+i bei_ν(x)=J_ν(x exp(3πi/4))と整合します。

注意事項

• 第1種ber・beiは正の実xでJνを3π/4回転した値の実部・虚部として現れます。複素zでは二関数を別々の解析関数として評価し、ber+i beiという一つの結合から単純な実部抽出だけで決めません。
• 正の大きい実xではberとbeiが振動しながらおおむねexp(x/√2)/√x規模へ増加します。複素方向では成長sectorが変わるため、|z|だけでoverflow余裕や相対精度を判断できません。
• ber′・bei′には回転Bessel引数のchain ruleが含まれます。J′νのRe・Imを係数なしで転記する実装と比較せず、DLMF 10.63の導関数規約を合わせます。
• Kelvin ber・beiの複素値と微分を同じ入力で比較したい場面に向きます。第2種ker・keiやcanonical第3種her・heiは別ページに分け、異なる解系列を一つの表へ混在させません。
• 第1種ber・beiは正の実xで互いに90度ずれたような振動を示しつつ、包絡が増加します。xが大きいと二成分の差や零交差が敏感になるため、berだけ、beiだけを見て関数全体の規模を判断せず、両方の値と導関数を保存します。
• ν=0ではberとbeiの原点級数が偶数べきで始まり、ber0(0)=1、bei0(0)=0です。本ページの公開域は他の次数と第2種を含む共通精度検証から|z|≥0.3に限定しており、原点値そのものを入力範囲へ特例追加しません。
• 非整数次数ではberν、beiνにもz^ν由来のbranchが現れます。整数次数で成り立つ負引数の単純な偶奇則をν=0.5などへ使うと別のsheetへ移るため、負実軸の片側極限は小さな符号付き虚部で指定します。
• ber′とbei′は回転Bessel Jの隣接次数式でも検算できます。次数を一つずらす係数と引数回転のchain ruleが同時に入るため、Jν−1だけをそのままKelvin導関数とみなさず、採用した位相因子を式に残します。
• 導体の表皮効果や円柱拡散ではber・beiの線形結合が境界条件へ現れますが、物理式によって無次元引数の回転方向が異なることがあります。関数名が同じでも時間因子exp(+iωt)とexp(−iωt)で共役や符号が変わり得ます。
• 第1種と第2種を同じ入力で比べると、成長側と減衰側のdynamic rangeが大きく異なる場合があります。これは数値誤差だけでなく解基底の性質です。係数を掛けた物理解が有限でも、個別基底が巨大なら高精度やscaled評価を検討します。
• 複素zでberとbeiを単一のJ値のRe・Imとして作る方法は、実軸から外れると二つの解析関数を混同します。本実装は正実軸で共役となる二本の解析接続を対称・反対称に組み合わせ、各結果を独立した複素数として保持します。
• Kelvin関数はBessel方程式の引数を複素方向へ回転して得られる特殊関数です。このページ群ではDLMFが定義するber、bei、ker、keiを複素zへprincipalに解析接続し、第3種ページでは参照canonicalのher、heiを第2種から定義します。各関数値とzによる一次導関数を独立した複素数として返し、実数x専用の二つの実成分表を虚部を捨てたまま複素入力へ流用しません。
• 実数xではberとbeiなどを一つの回転Bessel値の実部・虚部として読めます。しかしz自体が複素数ならber_ν(z)もbei_ν(z)も一般に複素値です。したがって単一の複素結合をJavaScriptのReal/Imagへ分解するだけでは標準的な二つの解析関数を再現できず、DLMFの対になる接続式またはべき級数を使います。
• 次数νは−20以上20以下の有限な実数、引数は0.3≤|z|≤30です。複素次数、z=0、範囲外の値は扱いません。非整数次数ではz^νを含むため負の実軸がprincipal branchのcutになります。曖昧な軸上値を推測しないため、νが非整数でIm(z)=0かつRe(z)<0の入力を拒否します。
• 負実軸の上側または下側の極限が必要なら、0ではない小さな正または負の虚部を入力し、採用側を数値と一緒に保存してください。入力欄が−0の符号を保持することには依存しません。整数次数の負実軸は一価化できる場合もありますが、整数用の位相則を非整数νへ延長してはいけません。
• 第1種ber・beiは一部のsectorで指数的に増加し、第2種ker・keiと第3種her・heiは別のsectorで減衰または増加します。同じ|z|でも偏角によってdynamic rangeが大きく異なります。片方の系列が小さく見えても0とは限らず、実部・虚部と指数表記を確認します。
• プライムは複素引数zによる一次導関数です。次数νの微分ではなく、実数xだけを動かした差分にも限定されません。回転Bessel関数を微分するときは合成関数の回転係数が必要であり、J'、K'、H'の値を係数なしでそのままber'、ker'、her'へ置き換えると位相が変わります。
• 第3種のher、heiはDLMF固有の記号ではありません。本サイトでは参照canonicalの規約を明示的に採用し、her_ν(z):=(2/π)kei_ν(z)、hei_ν(z):=−(2/π)ker_ν(z)と定義します。正の実xではher+i hei=(2/(iπ))(ker+i kei)となり、DLMF 10.61.E2の回転Hankel式と整合します。別資料と比較するときは記号名だけで一致を判断しません。
• 表示はbinary64の最大15有効桁で、scaled値や任意精度値ではありません。整数次数直近の接続式では巨大な近接項の相殺が起こり得るため、単純なsin(πν)の差商だけに頼らず整数極限を安定化します。零交差付近は相対誤差だけでなく絶対誤差も確認してください。
• 同じ記号でも文献によって回転角の符号、次数に掛ける指数位相、第3種の正規化が異なる場合があります。数表の数値だけを見て符号誤りと判断せず、ber+i bei、ker+i kei、her+i heiをどのBessel関数とどの回転引数へ結んでいるかを式で照合します。本ページ群はNIST DLMFの規約を正本にします。
• 数値検算では正の実軸の既知実値、一般の複素点、整数次数、整数直近、最小|z|、最大|z|、branch cutの上下を分けます。関数値と導関数を一緒に調べ、Kelvin方程式や線形接続式だけでなく独立高精度oracleとも比較します。一つの恒等式が合うことを全sectorの精度保証とはみなしません。
• 計算は1入力点につき四つのquantityを返す有界scalar処理です。グラフ、零点・極値探索、複素積分、逆関数、物理モデルの境界条件選択は実行しません。熱伝導、表皮効果、円柱問題へ使うときは無次元化、時間因子、回転角、関数種をモデル側で確認してください。
• 結果表の正本はquantity、Re、Im、|w|、arg(w)[rad]の五列です。主偏角はatan2で−πからπの範囲に表示し、厳密な0の偏角は未定義として扱います。絶対値と偏角だけを保存すると象限や小成分を失うため、再利用時はReとImも残してください。
• 入力と計算結果は利用者の端末内だけで処理され、外部API、CDN、fetch、XMLHttpRequest、WebSocket、Cookie、localStorageを使いません。計算ボタンを押した後も入力した次数や複素引数を外部へ送らず、同じ画面内のJavaScriptだけで結果表を組み立てます。
• 定義とbranchはNIST DLMF §10.61（https://dlmf.nist.gov/10.61）、導関数と漸化式は§10.63（https://dlmf.nist.gov/10.63）、べき級数は§10.65（https://dlmf.nist.gov/10.65）、変形Bessel関数の解析接続は§10.34（https://dlmf.nist.gov/10.34）、正の実軸上の大引数漸近展開は§10.67（https://dlmf.nist.gov/10.67）を2026年7月15日に照合しました。比較時はprincipal branch、回転角、次数、z微分を式単位で確認してください。
• −20≤ν≤20、0.3≤|z|≤30のbinary64 principal Kelvin値です。非整数次数の負実軸cut、任意精度、scaled値は扱いません。

よくある質問