複素変形ベッセル関数Iν(z)・Kν(z)と導関数の計算

使い方

1. 実数次数νと複素引数zの実部・虚部を入力します。実数計算なら虚部を0にします。
2. Iν、I′ν、Kν、K′νのRe・Im・絶対値・主偏角を4行で確認します。
3. 正の実軸で増大側Iと減衰側Kを比較するときも、非scaled値であることを記録します。
4. 負の実軸の上下や整数次数直近ではbranchと数値安定性を確認し、必要なら独立資料と照合します。

計算式・考え方

modified Bessel方程式z²w''+zw'−(z²+ν²)w=0の標準解Iν(z)、Kν(z)と、複素引数zによる一次導関数をprincipal branchで有界計算します。

注意事項

• modified Bessel方程式はz²w''+zw'−(z²+ν²)w=0です。通常Bessel方程式のz²項の符号が変わり、正の実軸ではIνが増大側、Kνが減衰側の標準解になります。この増減説明を一般の複素方向へ無条件に延長しません。
• 非整数νではKν=π{I_(−ν)−Iν}/(2sinπν)と表せますが、整数・整数直近では差とsinπνが同時に小さくなります。本engineはこの式を説明と照合に使いつつ、不安定な差商だけでKを復元しません。
• 導関数はI′ν=(I_(ν−1)+I_(ν+1))/2、K′ν=−(K_(ν−1)+K_(ν+1))/2です。別の同値な隣接次数式も使い、値と導関数がWronskian IνK′ν−I′νKν=−1/zを満たすか確認します。
• Kνは負の実軸にbranch cutを持ち、Iνも非整数次数では原点とbranchに注意が必要です。負実軸ちょうどは上側principal valueとし、下側極限を求める入力は小さい負の虚部で明示します。
• このページが返すのはunscaled IνとKνです。AMOS等にある指数scale済み関数や対数値ではありません。|z|≤50でも方向と次数によりdynamic rangeが大きくなり、非有限になる場合はInfinityを表示せずエラーにします。
• 小さいKやIの成分が表示上0になっても、数学的に厳密な零点とは限りません。binary64のunderflowや相殺を考え、指数scale値、対数値、任意精度が必要な解析では専用ライブラリを併用します。
• 検索では『変形ベッセル関数 計算』『modified Bessel I K』『Bessel K 複素数』『変形ベッセル関数 導関数』を想定します。Excel関数の整数次数・実数引数だけの仕様と同じ範囲だとは説明しません。
• 拡散、熱伝導、円筒境界、確率分布などにI/Kが現れても、この1点計算はモデルの単位や境界条件を知りません。成長側と減衰側の係数、引数の符号、branch、scaledかunscaledかを結果と一緒に記録してください。
• 共通安全域は有限実数次数−20≤ν≤20、有限複素引数1e−4≤|z|≤50です。実部と虚部が個別に±50以内でも、40+40iのように絶対値が50を超える点は計算しません。第2種を同時に返すためz=0も全ページ共通で除外します。
• 負の実軸ちょうどはarg(z)=+πの上側principal valueとして固定します。下側境界値はIm(z)<0の別入力です。入力欄で−0を保持できることに依存せず、上下を比較するときは0でない小さな虚部と採用側を記録してください。
• 結果表はquantity、実部、虚部、絶対値、主偏角radの5列です。複素値を整形文字列だけへ変換せずReとImを数値として保持し、同じ内部値からhypotとatan2を求めます。厳密な0の偏角は未定義としてダッシュ表示します。
• 表示はIEEE 754 binary64を基礎とする最大15有効桁です。最大15桁を表示できることは15桁すべての正しさを保証しません。整数次数直近、零点近傍、巨大成分の相殺、overflow・underflow近傍では有効桁が減ります。
• 数値coreは正実軸の監査済み実数値をanchorにし、複素平面では微分方程式を有界なDormand–Prince 5(4)で解析接続します。最大8192 stepで目標へ達しない点、非有限入力、非有限結果は推測値を出さず入力エラーにします。
• これはNetlib AMOSの移植でも、全複素平面を保証する任意精度libraryでもありません。AMOSの有限性、branch、overflow、作業上限の考え方を照合した、指定安全域のunscaled scalar実装です。広い領域やscale値が必要なら別手段を使います。
• 入力は利用者のブラウザ内だけで評価され、サーバーや第三者へ送信・保存されません。外部API、CDN、fetch、XMLHttpRequest、WebSocket、位置情報、現在時刻、localStorageを必要とせず、1回の操作で1点だけを計算します。
• 一次資料は2026年7月15日にNIST DLMF第10章とNetlib AMOSを照合しました。確認URL: https://dlmf.nist.gov/10.2 , https://dlmf.nist.gov/10.6 , https://dlmf.nist.gov/10.11 , https://dlmf.nist.gov/10.25 , https://dlmf.nist.gov/10.29 , https://dlmf.nist.gov/10.47 , https://dlmf.nist.gov/10.51 , https://netlib.org/amos/
• 同じBesselという名前でも通常型、Hankel、球型、変形型では微分方程式、次数shift、平方根係数、branch、正規化が違います。外部libraryや論文と比較するときは関数記号だけでなく、ν、z、定義式、scale、偏角規約を揃えます。
• 計算結果は公式定義の学習と代表値の検算を補助します。研究、設計、規格適合の最終値として使う場合は、独立した高精度実装、残差、Wronskian、隣接次数式を組み合わせ、入力と出典の版を再現できる形で保存してください。
• 表をコピーするときはquantity列を削らず、関数値と導関数、第一種と第二種を区別したまま保存します。絶対値だけでは位相を復元できず、偏角だけでは大きさを復元できません。ReとImを正本として残し、丸め後の表示値から高精度な元値を再構成できるとは考えないでください。
• 同じ入力を別の計算環境で比較する場合は、実数次数か整数次数か、負実軸の上側か下側か、引数の単位と無次元化、導関数がzによるものかを先に揃えます。数値が一定係数や複素共役だけずれる場合は、誤差と決める前に正規化とbranch規約を式で確認してください。
• 指定した有界領域のbinary64主値です。任意精度、全複素平面、scaled値、零点保証、物理的な境界条件の判定は行いません。

よくある質問