非心t分布の確率密度・下側P・上側Q

評価点x、自由度ν、非負の標準非心度δから、非心Studentのt分布の確率密度f、下側P、上側Qを端末内で計算します。

入力

評価点 x

非心t分布を評価する実数点です。支持範囲は実数全体ですが、ブラウザ内の有界計算として−1,000以上1,000以下に限定します。

自由度 ν

0より大きい実数自由度です。整数へ丸めません。端点特異性と反復負荷を抑えるため、このページでは0.1以上100,000以下に限定します。

非心度 δ（参照表記 λ）

標準定義T=(Z+δ)/√(V/ν)のδです。参照canonicalの入力名λに対応します。標準分布は負のδも定義できますが、この4ページは参照UIと同じ非負側だけを扱います。有界反復とrare-tail精度を守るため37.5以下に限定します。

使い方

−1000〜1000の評価点x、0.1〜100000の自由度ν、0〜37.5の標準非心度δを入力します。
非心度が標準δか別のλ・ηかを資料の定義式で確認し、下側Pと上側Qの向きをそろえます。
密度fと左右の累積P・Qを別の量として読み、P+Qが丸めの範囲で1になることを確認します。
δ=0の中心t分布、P+Q≈1、順方向と逆方向の往復を確認し、使った入力と計算日を結果と一緒に記録します。

計算式・考え方

Z~N(0,1)、V~χ²(ν)を独立とし、T=(Z+δ)/√(V/ν)と定義します。f(x;ν,δ)はTの確率密度、P(x;ν,δ)=Pr(T≤x)、Q(x;ν,δ)=Pr(T>x)です。δ=0では中心Studentのt分布に戻り、P(x;ν,0)=1−P(−x;ν,0)の対称性を持ちます。

注意事項

xは負、0、正のいずれも入力できます。非心t分布は非負支持のカイ二乗・F分布とは異なり、δ>0でも負のTを取り得ます。負のxを0へ切り上げず、左裾のPをそのまま計算します。
δ=0、ν=1では標準Cauchy分布と同じで、x=0の密度は1/π、P=Q=0.5です。この境界は密度、左右累積、中心tへの退化を同時に確認できるため組込み検算に使います。
参照canonicalは6〜50桁の表示選択を持ちますが、本ページはbinary64の実効精度を超える桁を精度保証として表示しません。最大15有効数字は読み取り用であり、極端な裾の相対誤差を表すものではありません。
標準非心t分布は、Zを標準正規、Vを自由度νのカイ二乗分布とし、互いに独立なときのT=(Z+δ)/√(V/ν)です。支持範囲は実数全体で、ν>0、δは標準定義では任意の有限実数です。このcanonical互換ページは参照UIに合わせδ≥0だけを入力対象にし、δ=0では中心Studentのt分布と一致します。
参照ページは非心度をλと表示していますが、BoostとSciPyの標準資料はδまたはncを使います。本ページの『δ（参照表記λ）』は標準式の分子へ加わるδであり、δ²や位置母数、尺度母数ではありません。記号だけを照合せず、T=(Z+δ)/√(V/ν)という定義式までそろえて比較してください。
参照canonicalに掲載された級数はλ、λ²、半整数添字の対応を一意に読み取りにくく、標準非心度との換算を誤る余地があります。本ページはその式を転記せず、NIST Dataplot、Boost.Math、SciPyが示す標準非心tの母数化に統一します。参照値と違うときは、丸め誤差より先に非心度の定義を確認します。
確率密度f(x)は一点が起きる確率ではなく区間確率の密度です。下側PはPr(T≤x)、上側QはPr(T>x)で、連続分布では理論上P+Q=1です。小さい右裾を1−Pだけで作ると有効桁を失うことがあるため、右裾はQ、右側分位点はISFを直接使います。
自由度νが小さいとt分布の裾は非常に重くなり、極端な確率の分位点は短時間で大きな絶対値へ達します。数学上の支持範囲は無限ですが、本ページはxを±1,000へ制限し、範囲外の分位点を有限値へ丸めません。到達不能の入力は確率や自由度を見直すための明示的なエラーにします。
非心度を大きくすると分布は概して右へ移り、固定xで下側Pは減少し上側Qは増加します。ただしδは観測値へ単純加算する位置母数ではなく、正規分子を正のランダム分母で割る前の母数です。同じδでもνが変われば密度、裾、分位点の形は変わります。
計算はIEEE 754 binary64による近似です。結果欄は有効数字を最大15桁まで表示しますが、末尾桁をすべて保証する任意精度計算ではありません。rare tail、大きいδ、ν下限付近では収束判定と丸めの影響が増えるため、重要な値は同じ標準定義を使う独立実装と代表点で照合してください。
定義、支持範囲、P・Q、PPF・ISFはNIST Dataplot、Boost.Math、SciPy公式資料を2026年7月14日に照合しました。Boostは現行アルゴリズムの計算量がδ²に依存し、大きなδで速度と精度が悪化すると注意しています。入力上限は数学上の定義域変更ではなく、利用者のブラウザを長時間占有しないための運用境界です。
δは検定力、効果量、標本数そのものではありません。t検定、回帰係数、信頼区間などでは、モデルごとにδと標本数・分散・効果量の関係が定まります。このページは分布関数だけを評価し、帰無仮説、片側・両側、有意水準、標本設計、医学的または業務上の判断を自動決定しません。
入力、数値計算、グラフ生成は許可制JavaScriptだけで端末内に完結し、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocketを使いません。生成時はWordPress本文・追加CSS・追加JavaScriptへ分離でき、既存テーマのフォントやレイアウトを上書きしません。ここではローカル成果物だけを作り、投稿・下書き・公開は行いません。
この確率密度・累積確率ページはcalculator-firstで、入力欄と計算結果を先頭近くに置き、その後に式、使い方、検算方法、数値上の注意を続けます。使用したP/Qの向き、ν、δ、x、計算日を記録し、δ=0の中心t、P+Q≈1、順方向と逆方向の往復を組み合わせて確認してください。
標準非心t分布の近似計算です。モデル適合、検定設計、個別判断を保証しません。

よくある質問

xが負でも計算できますか？

できます。非心t分布の支持範囲は実数全体です。δ>0でも負側確率は0ではないため、下側Pを直接確認できます。

参照ページのλと、このページのδは同じですか？

入力欄としては対応させています。ただし本ページは標準式T=(Z+δ)/√(V/ν)のδとして厳密に定義し、λ²や別の換算母数としては扱いません。

負の非心度を入力できますか？

標準分布では負のδも定義できますが、この4ページは参照canonicalのλ≥0に合わせて非負側だけを提供します。負のδを0へ丸めることはしません。

PとQのどちらを使えばよいですか？

x以下の割合はP、xを超える割合はQです。小さい右裾はQを直接使い、1−Pの差だけに頼らない方が有効桁を保ちやすくなります。

入力値はサーバーへ送られますか？

送られません。計算と表示はブラウザ内だけで行い、外部通信やサーバー側計算を使いません。

入力したx、確率、自由度、非心度と生成系列はこのブラウザ内だけで計算・表示され、サーバーや第三者へ送信・保存されません。氏名、標本データ、案件名、医療情報を入力する欄はありません。