Student t分布の確率密度・下側P・上側Qを計算

Student t分布の確率密度・下側P・上側Qを計算

パーセント点xと正の自由度νから、中心Student t分布の確率密度、下側累積P、上側累積Qを補数精度に配慮して計算します。

入力

標準位置0・尺度1のt軸上の有限実数です。負側・0・正側を入力できます。

0より大きい実数です。共有特殊関数の有限領域として100,000以下に限定します。

使い方

  1. 標準t軸上のxと分布の自由度νを、問題文や検算元の記号と同じ順序で確認します。
  2. 負側・正側を含むxと正のνを入力し、P/Q/I、前向き・逆、正規化の選択を見直します。
  3. 「計算する」を押し、密度f、下側P、上側Qと補数和を出力ラベルと式に照らして読みます。
  4. 補数和、対称性、前向き→逆の往復を確認し、丸め前の入力とソフトウェア版を記録します。

計算式・考え方

f=(1+x²/ν)^(-(ν+1)/2)/(√ν B(1/2,ν/2))。z=ν/(ν+x²)、R=I_z(ν/2,1/2)/2。x<0ではP=R,Q=1−R、x≥0ではP=1−R,Q=R。

注意事項

  • Student t分布の前向き確率は、標準位置0・尺度1の中心Student t分布について、自由度νを正の実数として密度・累積または分位点を求めるものです。参照ページの一つの計算目的を保ち、グラフや可変行表へ広げず、入力した有限実数から固定個数のscalar結果を返します。分布名や関数名が似ていても、正規化・非正規化、下側・上側、前向き・逆関数を出力名で区別します。
  • 式とパラメータ化は、参照ページとNISTの f(x)=((1+x²/ν)^(-(ν+1)/2))/(√ν B(1/2,ν/2)) を使います。自由度を整数へ丸めず正の実数として式へ入れ、xの符号だけでP/Qの小さい裾を選びます。位置・尺度を暗黙に追加せず、自由度ν、ν1、ν2の順序、aとbの順序、xの意味を参照式どおりに固定します。別ライブラリと比べるときは引数順を最初に確認します。
  • 定義域は、xは有限実数、自由度νは0より大きく100,000以下です。分位点の確率は有限解のため開区間へ制限します。境界については、x=0ではP=Q=0.5です。ν=1ではCauchy密度となり、xは有限範囲内で負・正の両側を許します。定義域外、有限倍精度で表せない分位点、非正規化値があふれる形状を便宜的な0や最大値へ置き換えず、該当入力のエラーとして示します。
  • 下側と上側は、z=ν/(ν+x²)のI_z(ν/2,1/2)を半分にし、xの符号で小さい側をPまたはQへ直接割り当てます。P+Q=1またはI_x(a,b)+I_(1−x)(b,a)=1という関係を検算に使いますが、小さい側の裾を1からの引算だけで作りません。上側は対称変換または専用Q関数を直接使い、極端な裾の有効桁を保ちます。
  • 逆関数では、この前向きページはxからP/Qを返し、確率からxを求める処理は別canonical 1161228824へ分離します。下側Pと上側Qは同じ数値を入力しても、t分布では符号が反転し、F分布では小さい点と大きい点になります。端点0・1は理論上無限になる分位点では有限入力域から除き、有限端点を持つ不完全ベータ逆関数では0と1をそのまま扱います。
  • 数値安定性は、正側ではQ、負側ではPを正規化Betaから直接求め、反対側だけを1との差にします。分位点も小さい裾2min(p,1−p)を逆Betaへ渡します。共有runtime 1.7の正規化不完全Gamma/Beta関数は級数・連分数・対称変換と反復上限を持ち、逆関数は区間を保った反復を使います。このページ側では巨大な固定段数ASTや無根拠な近似係数へ戻しません。
  • 結果の読み方は、Pは−∞からx、Qはxから+∞の一側面積で、負側xではPが小さく、正側xではQが小さくなります。確率密度f(x)は一点の確率ではなく曲線の高さです。累積確率は区間の面積、パーセント点は指定面積に対応する横軸の値です。数値が得られても検定の採否、モデル適合、標本の独立性は自動判定しません。
  • 一次資料は、NIST/SEMATECH e-Handbook 1.3.6.6.4のt密度・正の自由度・数値分位点と、DLMF 8.17の正規化Beta対称性を確認しました（確認日2026年7月13日）。NIST/DLMFの式、定義域、対称関係と参照ページの既定POST値を独立に照合し、文章やプログラムを複製していません。将来のruntime改定では同じ通常・境界・裾・往復ケースを再実行します。
  • 検算例は、x=1,ν=2でf≈0.1924500897、P≈0.7886751346、Q≈0.2113248654となり、P+Q=1です。通常点に加えて、中心、x=0または1、P/Qの補数、負側t、自由度や形状の下限外、逆関数の前向き往復を確認します。異常例では計算を続けず、NaNやInfinityを通常の有限結果に見せません。
  • このページが扱わない範囲は、非心t分布、位置尺度付きt、標本自由度の導出、信頼区間、片側・両側検定の採否は扱いません。複素引数、解析接続、任意精度、多変量分布、非心分布、標本からのパラメータ推定、p値の多重比較補正などは、それぞれ専用定義と検証が必要です。
  • 参照ページとの対応は、参照ページのx・νとf/P/Q三出力を維持し、グラフ版や検定結論は含めません。追加出力は同じ式のP/Q/I、補数、正規化値、往復値など検算可能な内訳だけです。グラフ版canonicalや範囲走査を混ぜず、1ページ1ツールの固定入力・固定出力にしています。
  • 計算はブラウザ内で完結し、外部API、CDN、任意コード実行を使いません。重要な研究・品質保証では、採用した分布パラメータ、裾の向き、丸め前の確率、ソフトウェア名と版を記録し、R、SciPy、NIST表など独立実装でも照合してください。
  • 有限な実数とIEEE 754倍精度による学習・検算用の近似値です。検定結論、モデル妥当性、複素枝、任意精度を確定しません。

よくある質問

下側Pと上側Qはどう使い分けますか？

t分布は0対称なので、同じ小さい確率なら下側Pは負、上側Qは正の分位点になります。Pは左または下側、Qは右または上側の面積です。連続分布では同じxに対しP+Q=1ですが、分位点入力で同じ数値をPとQへ入れると一般に別のxになります。

確率0または1を分位点へ入力できますか？

t分布の下側P=0・1および上側Q=1・0はそれぞれ−∞・+∞に対応するため、有限値ページでは開区間だけを受け付けます。無限支持分布の分位点は端で±∞または+∞になるため、有限scalarページでは0・1を除外します。不完全関数の前向き端点と、有限区間[0,1]の不完全ベータ逆関数は別扱いです。

結果が統計ソフトと少し違うのはなぜですか？

自由度の順序、下側・上側、正規化、百分率と小数、非心・中心分布、途中丸め、表示桁が違う可能性があります。まず関数定義と引数順をそろえ、15桁すべてではなく相対・絶対誤差と前向き往復で比較してください。

この結果だけで仮説検定やモデル選択ができますか？

できません。分布値や分位点は計算部品です。検定には帰無仮説、片側・両側、統計量の定義、自由度の導出、前提条件、多重比較、事前に定めた有意水準が別途必要です。

入力値は外部へ送信されますか？

送信されません。この定義は端末内のJavaScriptだけで計算します。計算に不要な研究対象名、個人情報、未公開の測定値は入力せず、共有端末ではコピー先や画面履歴にも注意してください。

入力したx、自由度、形状a・b、累積確率はこの端末内だけで処理され、外部へ送信・保存されません。ツールは入力値から統計的結論や個人属性を推定せず、計算に不要な識別情報も要求しません。