フォン・ミーゼス分布の確率密度・下側P・上側Q

使い方

1. 角度xと平均方向μをラジアンで0〜2πへ入力します。度で持つ値は度×π/180へ換算し、方位角の正方向もそろえます。
2. 集中度κを0〜10000で入力します。κ=0は一様、値を大きくするとμの周囲へ鋭く集中します。
3. 計算後、密度fと、基準角0からxまでのP、xから2πまでのQを区別して読みます。P+Q≈1も確認します。
4. 平均方向が0付近なら山が区間の両端へ分かれて見えることを確認し、必要なら角度を1周加減して円周上の同一点として解釈します。

計算式・考え方

0≤x,μ≤2π、κ≥0でf(x;μ,κ)=exp[κ cos(x−μ)]/[2π I0(κ)]です。本ページは切断基準を角度0に固定し、P(x)=∫[0,x]f(t)dt、Q(x)=∫[x,2π]f(t)dtとしてP+Q=1を保ちます。κ=0ではf=1/(2π)、P=x/(2π)、Q=1−x/(2π)です。

注意事項

• 角度0と2πは円周上で同じ方向ですが、累積確率の切断点としてはP(0)=0、P(2π)=1です。密度は両端で同じでもCDF値は異なるため、線形分布の端点と同じ感覚で比較しないでください。
• 平均方向μは算術平均ではなく円周上の中心方向です。μ=0付近で密度の山が0と2πの両側へ現れても二峰性ではなく、同じ山を切断区間の両端から見ています。角度の単位と回転方向を結果と一緒に記録します。
• 大きいκでexp(κ)とI0(κ)を別々に作るとオーバーフローします。共有関数は対数またはスケール済みBessel比と大κ近似を使い、κ=10000まで正規化定数を有限に保ちます。これは任意精度を意味せず、極端に細い山では格子解像度にも注意が必要です。
• NIST Dataplot VONCDF/VONPDF資料でκ=0が一様分布になること、2π周期、大κで正規分布へ近づくことを照合しました。参照canonicalのκ>0制限を安全に拡張し、数学的に定義されるκ=0を明示的に許可します。
• フォン・ミーゼス分布の確率密度・累積確率計算は、指定した数学的定義をbinary64で近似する学習・検算用ツールです。表示は最大有効数字15桁ですが、末尾まで正しい任意精度計算を意味しません。6〜50桁などの固定桁数を精度保証として装わず、重要な用途では同じ定義の独立実装と代表点を比較してください。
• 入力上限は数学的定義域を置き換えるものではなく、ブラウザを長時間占有しないための運用境界です。上限付近、極端な裾、特異境界に近い入力では丸め誤差が増えます。有限値へ黙って丸めず、許容範囲外や収束不能は入力エラーまたは計算エラーとして示します。
• 定義と境界はNIST Dataplot、NIST/SEMATECH Engineering Statistics Handbook、SciPy公式資料を2026年7月14日に照合しました。参照資料は式、パラメータ化、支持範囲、確率領域を確かめるために使い、計算中に外部サイトへ接続しません。
• 結果は入力した分布・関数の値であり、標本がその分布へ適合すること、相関が因果関係を表すこと、検定や設計の前提が満たされることを保証しません。実データへ適用するときは母数推定、標本数、外れ値、独立性、測定単位、モデル選択を別途検証してください。
• このページはcalculator-firstで、入力、計算、結果を先に置き、その下に式、使い方、境界、数値誤差、FAQを掲載します。生成時はWordPress本文・追加CSS・追加JavaScriptの3成果物へ分けられますが、ここではローカル成果物だけを作り、WordPressへの投稿、下書き、書き込み、公開は行いません。
• 許可制の宣言的ASTと共有named functionだけを使い、eval、new Function、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocketを使用しません。計算は利用者の端末内で完結し、入力値や結果をサーバー・第三者へ送信または保存しません。
• 再現用に、結果の数値だけでなく入力値、角度や標準化の単位、確率領域の不等号、関数名、計算日を一緒に保存してください。同じ記号でも資料ごとに基準区間、上側・下側、相関の並び、係数の定義が異なる場合があります。名称だけで対応付けず、本文の数式と入力順を照合してから比較します。通常点に加えて対称性、独立、端点など既知の境界も検算すると、方向や係数の誤りを発見しやすくなります。
• 指定した数学的分布・関数の近似値です。モデル適合、検定設計、個別判断を保証しません。

よくある質問