第1種Whittaker関数M_{κ,μ}(z)を正の実数域でグラフ計算

使い方

1. パラメータk（κ）とm（μ）、zの初期値、0以外の増分、1〜201のサンプル点数を入力します。既定値はk=2、m=0.5、z=0から0.2刻みの76点です。
2. 計算ボタンを押すと、同じz格子で第1種Whittaker関数M_{κ,μ}(z)を評価し、ページ先頭のグラフ、その下の数値表、TSV用データへ同じ標本値を表示します。
3. グラフの形だけで判断せず、零点や急増区間では表の指数表記も確認します。別ソフトと比較するときはκ、μ、z、関数種M、枝の取り方を結果と一緒に記録してください。

計算式・考え方

NIST DLMF 13.14.2に従い、M_{κ,μ}(z)=exp(−z/2) z^(μ+1/2) 1F1(μ−κ+1/2; 2μ+1; z) と定義します。ここで1F1はKummerの合流型超幾何関数です。本ページではκ=k、μ=mと表示し、正の実軸上の通常の実べきだけを使います。

注意事項

• 第1種Whittaker関数は合流型超幾何微分方程式の標準解の一つです。記号M_{κ,μ}(z)の大文字MはWhittaker Mを表し、Kummer関数M(a,b,z)=1F1(a;b;z)とは引数と前置因子が異なります。入力欄のkはκ、mはμに対応するため、添字の順番を入れ替えないでください。
• 公開範囲は−10≤k≤10、0≤m≤10、0≤z≤20です。これは関数の数学的な全定義域ではなく、ブラウザの倍精度計算で実数値を安全に説明・検査できる有界部分です。範囲外の値を端点へ丸めたり、mを整数や半整数へ丸めたりせず、入力エラーとして示します。
• m≥0では指数m+1/2が正なので、z→0+でz^(m+1/2)が0へ近づき、1F1の原点値は1、exp(−z/2)は1へ近づきます。このため本ページはz=0でM_{k,m}(0)=0という右側極限を明示的に返します。0のべきと超幾何級数を機械的に掛けてNaNにする実装ではありません。
• 負のzは受け付けません。mが一般の実数ならz^(m+1/2)は負の実軸上で複素位相を持ち、上側または下側から枝切りへ近づく選択が結果へ影響します。絶対値|z|を代入して実数値へ縮約したり、実部だけを黙って表示したりすると別の関数になるためです。
• 複素zも対象外です。Whittaker関数は複素平面で重要な特殊関数ですが、複素入力欄、枝の指定、実部・虚部の二系列、複素数表記まで一貫して設計しないまま実数グラフへ混ぜません。複素領域が必要な計算は、枝規約を指定できる任意精度ライブラリで確認してください。
• m<0も公開しません。負のmでは原点指数が0以下になって発散や有限極限の条件が変わり、b=2m+1が0または負の整数へ達すると1F1の標準級数の分母Pochhammer記号に特異性が生じます。解析接続や極限で定義できる個別条件があっても、本ページは一律の実数計算へ縮約しません。
• 本ページの0≤m≤10ではb=2m+1が1以上21以下となるため、bが非正整数になる問題を構造的に避けています。一方、a=m−k+1/2は正にも負にもなります。aが負の整数なら1F1は有限次数の多項式で止まりますが、それ以外では収束級数または安定な変換を使って評価します。
• 既定値k=2、m=0.5ではa=−1、b=2となり、1F1(−1;2;z)=1−z/2です。したがってM_{2,1/2}(z)=exp(−z/2)z(1−z/2)となり、z=0とz=2で0になります。この単純化は正常系の独立検算に使いますが、一般の入力をこの一次式で近似するわけではありません。
• パラメータとzによって、指数因子exp(−z/2)が小さくなる一方で1F1やz^(m+1/2)が大きくなり、途中の項が最終値より大きくなることがあります。実装は項数に上限を設け、非有限値、未収束、著しい相殺を成功値の0へ置き換えません。
• 表示値はIEEE 754 binary64を基礎とする最大15桁の有効数字です。級数打切り、指数・対数変換、近接する項の相殺、零点近傍の丸めにより末尾桁は変わり得ます。研究、設計、規格適合の最終値には、任意精度計算と独立した数表を併用してください。
• 横軸はz_i=zの初期値+i×増分（i=0,1,…,点数−1）で作ります。増分を負にすれば大きいzから小さいzへ並べられますが、最終点も0以上20以下でなければなりません。増分0は禁止し、同じ点を201回繰り返す結果は生成しません。
• グラフは最大201個の標本点を直線で結んだ標本線です。点間で関数を追加評価する補間曲線、零点探索、極値探索、誤差保証ではありません。符号変化や鋭い曲がりが見える区間では、開始値と増分を調整して狭い区間を再計算し、表の値も確認してください。
• 縦軸が大きな値へ引かれると、0付近の変化や小さい極値が平らに見えることがあります。これは小さい値が未計算という意味ではありません。範囲を分割する、点数を増やす、TSVを別の描画ソフトへ渡すなど、目的に合う尺度で比較してください。
• Whittaker W_{κ,μ}(z)は第2種の別解であり、本ページのM_{κ,μ}(z)と同じものではありません。名称の第1種・第2種だけで置き換えず、原点や無限遠で必要な境界条件、線形結合係数、採用する枝を物理モデルごとに確認してください。
• この関数は量子力学、波動方程式、Coulomb型問題などで現れますが、関数値だけで現象を判定できません。次元を持つ変数をそのままzへ入れず、導出した無次元化、境界条件、正規化、単位、パラメータ対応を確認し、本ツールを診断や安全判断の根拠にしないでください。
• 計算はsampled-series-v1と固定名の許可制関数whittaker_m_real_positiveだけで行います。eval、new Function、外部API、外部CDN、fetch、XMLHttpRequest、WebSocketを使わず、利用者が入力したコードや式を実行しません。
• 入力したk、m、z格子と生成した系列は利用者のブラウザ内だけで処理され、サーバーや第三者へ送信または保存されません。WordPress本文、追加CSS、追加JavaScriptで完結するローカル成果物であり、builderの実行は下書き作成、記事更新、本番公開を行いません。
• 定義式、記号、枝に関する前提はNIST Digital Library of Mathematical Functions（DLMF）§13.14、特に式13.14.2を2026年7月15日に一次資料として照合しました。比較資料で添字の符号、Kummer関数の正規化、べきの枝が異なる場合は、数値だけでなく定義式まで戻って確認してください。
• −10≤k≤10、0≤m≤10、0≤z≤20、最大201点の倍精度実数標本です。負・複素z、負のm、任意精度、零点探索は扱いません。

よくある質問