ベータ分布の下側P・上側Qパーセント点

使い方

1. 左側面積から求めるなら下側P、右側面積から求めるなら上側Qを選びます。
2. 0から1までの確率と、正の形状母数a・bを入力します。
3. 0以上1以下の分位点と順方向のP・Qを確認し、上側・下側の向きを照合します。

計算式・考え方

下側モードはx=I^−1_p(a,b)です。上側モードは対称変数y=I^−1_q(b,a)を直接解きx=1−yとします。得たxのP=I_x(a,b)、Q=I_(1−x)(b,a)も直接再評価します。

注意事項

• Beta分布は支持域の両端が有限なので、下側P=0はx=0、P=1はx=1、上側Q=0はx=1、Q=1はx=0です。χ²・Gammaと異なり+∞端点がなく、参照仕様どおり確率0と1を両方受け付けます。
• 上側Qの逆は、p=1−qを作って通常のI逆関数へ渡しません。形状をb,aへ交換した対称変数yをQそのものから解き、最後にx=1−yとします。小さなQを1から引く段階で失うことを避ける設計です。
• NIST HandbookのBeta Distribution節ではpercent pointに単純な閉形式がなく数値計算されると説明されています。一様分布a=b=1ではx=P、またはx=1−Qとなるため、端点と逆関数方向を独立に検算できます。
• この結果は標準Beta(a,b)の分位点です。信頼上限、監査上限逸脱率、Bayes信用区間へ使う場合は、入力確率が片側か両側か、a,bがどの標本・事前情報から作られたかを分析手順で確認してください。
• NIST Digital Library of Mathematical Functions（DLMF）8.2節で、正規化不完全ガンマ関数P(a,x)とQ(a,x)、およびP+Q=1を確認しました。8.17節では正規化不完全ベータ関数I_x(a,b)と対称関係I_x(a,b)=1−I_(1−x)(b,a)を確認しています。
• 上側確率Qは、下側確率を計算して1から引く方法に固定していません。χ²・Gammaはregularized_gamma_qを直接呼び、Betaは対称関係の小さい側I_(1−x)(b,a)を直接評価します。Pが倍精度で1へ丸まる極端な右裾でも、表現可能なQを不必要に0へ失わないためです。
• 確率分布の数値は、入力した分布と母数が正しいという条件付きの数学的結果です。データがその分布に適合するか、母数推定にどの程度の誤差があるか、検定で帰無仮説を棄却すべきかを自動判断しません。研究・品質管理・監査では分析計画と使用ソフトの定義を別途確認してください。
• 確率密度f(x)は一点の確率ではありません。連続分布で区間[a,b]へ入る確率は密度をその区間で積分した面積で、一点だけの確率は0です。累積P・Qと密度は単位も用途も異なるため、密度の高さをp値や発生確率として読まず、必要な結果欄と確率方向を先に決めてください。
• 表示は最大15有効桁ですが、最終桁まで数学的真値を保証するものではありません。順方向と逆方向の反復、極端な形状母数、0または1に近い確率では丸め誤差が拡大し得ます。報告書では母数化、P/Qの向き、使用桁数を記録し、必要精度に応じて別実装や高精度ライブラリとも照合してください。
• 計算は許可制ASTと共有runtime 1.7の有界反復だけで端末内実行します。eval、new Function、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocketは使いません。入力値や結果は外部送信・保存されず、WordPressへの書込みや下書き作成も行いません。
• 参照ページ、NIST Engineering Statistics Handbook、DLMFは2026年7月13日に照合しました。本実装はscalarの密度・累積確率・分位点だけを対象とし、値の範囲を走査するグラフ版や一覧表版は説明本文へ縮約せず、このwaveから除外しています。
• 指定分布・母数に基づく数学的結果です。モデル適合、母数推定、検定・監査上の結論を保証しません。

よくある質問