第3種完全楕円積分 Π(n,k) 計算

使い方

1. 特性n≤0.999999と−1<k<1を入力します。canonical既定値はn=0.7、k=0.1です。
2. 入力条件を確認し、「計算する」を押します。結果欄には楕円積分の無次元値を表示します。
3. kをparameter mで与えられた資料と比較するときは、m=k²へ換算してから照合します。
4. 結果をコピーする場合は関数名、入力値、角度単位、確認日も一緒に記録してください。

計算式・考え方

Π(n,k)=∫[0,π/2] dθ/{(1−n sin²θ)√(1−k²sin²θ)} を計算します。

注意事項

• 第3種は第1種の分母へ1−n sin²θを加えた関数です。n=0ならΠ(0,k)=K(k)となり、nを0へ戻した結果が第1種と一致することが重要な検算になります。
• n=1ではπ/2の端点に極があり、n>1では区間内に極が現れます。比較対象はn>1でもCauchy主値らしい有限値を返しますが、本ページは通常積分と主値を混同しないためn≤0.999999に制限します。
• 第3種は円錐曲線の弧長変換、剛体運動、電磁場、Jacobi楕円関数の積分で現れます。nはkとは別の特性で、文献によってα²と書かれるため記号対応を先に確認してください。
• DLMFでは特性をα²と書く場合があり、このページのn=α²です。SciPyの低水準Carlson関数と比較するならΠ−K=(n/3)RJ(0,1−k²,1,1−n)を使えます。
• n=0.7、k=0.1ではΠ=2.87719101880097399でcanonical POSTと一致します。n=0、k=0.5ではK(0.5)=1.685750354812596へ戻ります。
• nを0へ近づけたときΠ(n,k)がK(k)へ連続的に近づくこと、kの符号を反転しても値が変わらないことを検算できます。n→1−では値が急増するため、結果の桁が大きい場合はまず1−nの距離を記録し、丸めたnで再現できるか確認します。
• 第3種では記号の順序が資料ごとに異なります。Mathematica風のEllipticPi[n,m]は第2引数がparameter mですが、このページはΠ(n,k)で第2引数がmodulus kです。検索結果の数値を照合するときは、関数名だけでなく引数の意味と平方の有無まで併記してください。
• 第3種完全楕円積分 Π(n,k)について: この計算は入力から結果表示までブラウザ内で完結します。外部APIへ入力値を送らず、サーバー側で数値積分を繰り返しません。固定回数上限を持つCarlson対称積分の重複法を使うため、端末の計算資源だけで応答し、通信状態に左右されず検算できます。
• 第3種完全楕円積分 Π(n,k)について: 記号kはLegendre楕円積分の母数modulusです。SciPyやMATLABなど一部の資料・関数が使うparameter mとはm=k²の関係です。たとえばこのページでk=0.5を指定すると、mを取る関数には0.25を渡します。kとmの取り違えは数値不一致の代表原因です。
• 第3種完全楕円積分 Π(n,k)について: 数値計算はNIST DLMF §19.25のLegendre積分とCarlsonのRF、RD、RJの関係を用い、§19.36の重複法に沿って差を反復的に縮小します。反復は64回を上限にし、収束しない値を近似値へ黙って置き換えません。式と計算法は2026年7月13日に照合しました。
• 第3種完全楕円積分 Π(n,k)について: 表示値はJavaScriptのIEEE 754 binary64相当で最大15桁に整形します。特異点へ近づくほど関数値と条件数が大きくなり、入力末尾の小さな差が結果へ強く反映されます。高精度論文や任意精度計算を置き換えるものではなく、通常精度の設計・学習・実装検算向けです。
• 第3種完全楕円積分 Π(n,k)について: このページは有限な通常の実積分を対象とします。複素数への解析接続、分母の極をまたぐCauchy主値、発散積分へ便宜的な有限値を割り当てる処理は行いません。入力条件を満たさない場合は対象欄を明示して停止するため、結果だけを見て定義域外に気づかない事故を防げます。
• 第3種完全楕円積分 Π(n,k)について: 楕円積分は単振り子の周期、楕円弧長、電磁気、弾性、確率分布の変数変換などに現れます。ただし実際の物理量へ適用するときは、無次元化、単位、境界条件、採用するkまたはmの規約を元の式で確認してください。この計算値だけで安全率や設計可否を決めないでください。
• 第3種完全楕円積分 Π(n,k)について: 実際の検算では、まず既定値を計算して表示桁と入力規約を確認し、次にゼロ、符号反転、完全積分へ戻る端点など既知の関係を一つずつ試します。その後で目的の入力を計算し、結果を別のソフトへ渡すときは画面表示を手入力せずコピーボタンを使います。末尾桁の差は二進浮動小数と表示丸めで生じるため、全桁一致だけを合否基準にせず、絶対誤差と相対誤差、特異点からの距離を併記してください。同じ値を再現するには関数の種類、引数順、kかmか、角度単位、使用した桁数を記録します。
• 有限な通常の実数楕円積分を学習・検算するツールです。Cauchy主値、複素値、任意精度は扱いません。

よくある質問