第2種Kelvin関数ker′_ν(x)・kei′_ν(x)を実数次数でグラフ計算

使い方

1. 実数次数ν、xの初期値、0以外の増分、1〜201の点数を入力します。
2. ker_ν(x)とkei_ν(x)を同じ格子で計算し、グラフと表の両方を確認します。
3. 関数種、次数、x範囲、DLMF位相規約を結果と一緒に保存し、別規約の数値と混同しないようにします。

計算式・考え方

ker′_ν(x)+i kei′_ν(x)=d/dx[exp(−iνπ/2)K_ν(x exp(iπ/4))] です。DLMF 10.63の隣接次数公式または同値な級数微分で評価します。

注意事項

• kerとkeiは複素K値の実部と虚部です。第1種ber・beiのように大きいxで増幅する組とは反対に減衰側の解を構成しますが、同じKelvin方程式の解だからといって列名や符号を交換できません。
• 次数0の小さいxではker_0が−log(x/2)−γに対応する大きな正値へ、kei_0が−π/4付近へ向かいます。次数が0でない場合はべき発散も現れるため、原点極限を共通値にせず正の下限を設けています。
• 導関数ではker′・kei′またはher′・hei′を同じx格子で返します。次数を微小に変化させた差分ではなく、x方向の解析的漸化式または級数微分を使います。
• 第2種Kelvin関数は、正の実数xを複素方向x exp(iπ/4)へ回転したmodified Bessel Kから作る二つの実数成分です。一般の複素K計算機ではなく、DLMFで固定された位相と正規化だけを有界な実数入力から評価します。
• 非整数次数の接続式にはsin(πν)が分母へ現れます。その式だけを整数や整数直近へ使うと、分子の大きな近接値が相殺して精度を失います。実装は整数用の対数・digamma級数または安定な別経路を分け、nextafterで整数へ極端に近い次数も独立高精度値と照合します。
• xが0へ近づくとker・keiは次数に応じて対数的またはべき的に発散します。原点へ有限値を代入せず、公開UIをx≥0.0001へ限定します。小さいxと大きい|ν|の組合せでは10の100乗を超える有限値もあるため、指数表記と表を必ず確認してください。
• NIST DLMF §10.61はx≥0を前提とします。参照canonicalは負のxへ複素Kの主値を解析接続する独自拡張を含みますが、実数seriesだけで枝を黙って選ばないため本ページは正のxへ限定します。負のxを絶対値へ変換したり、正側の偶奇則で代用したりしません。
• x=0では同じ組の中に発散する成分と有限極限の成分が混在します。たとえばν=0でkerは正の無限大へ向かう一方、keiは−π/4へ近づきます。現行の有限数値グラフへ∞を0や空欄として混ぜず、原点全体を入力エラーとして明示します。
• xが大きい正の領域では第2種と第3種の振幅はおおむねexp(−x/√2)/√xで減衰しながら振動します。x=50付近では成分が1e−15規模となり、零交差の近くでは相対誤差だけが大きく見えるため、絶対誤差と位相の両方で検証します。
• 一次微分のプライム記号は次数νによる微分ではなく、正の実引数xによる微分です。値と導関数を別の許可制関数として評価し、値が有限でも導関数だけが表現範囲を超える場合に、両方をまとめて推測値へ置き換えません。
• 表示値はIEEE 754 binary64を基礎とする最大15桁の有効数字です。級数打切り、対数Gamma、digamma、相殺、非常に小さい値の丸めにより末尾桁が変わります。研究・設計・規格適合の最終値には任意精度ライブラリや独立した数表を併用してください。
• グラフはx_i=xの初期値+i×増分で作る最大201個の標本点を直線で結びます。補間曲線、零点探索、極値探索、誤差保証ではありません。振動が速い領域では範囲を分割して増分を小さくし、グラフだけでなく代替表とTSVを確認してください。
• 二つの系列を同じ縦軸へ描くため、片方の絶対値が極端に大きい区間では他方が0に近く見えます。小さい系列が未計算という意味ではありません。指数表記付きの表を確認し、必要なら表示するx区間を狭く分けて再計算してください。
• 第1種ber・bei、第2種ker・kei、第3種her・heiは同じ微分方程式に関係しても、境界条件と複素線形結合が異なります。関数名の先頭文字だけで選ばず、増加側か減衰側か、回転角と係数、実部・虚部の対応を確認してください。
• 入力範囲外の値を境界へ丸めたり、非有限値を0へ置換したり、次数を整数へ四捨五入したりしません。特に整数次数専用式と非整数次数接続式は数値的な役割が違うため、入力値を勝手に整数扱いせず、安定性を保つ内部経路だけを切り替えます。
• 各ページには正常例、整数次数と公開下限の境界例、原点を拒否する不正例を固定します。Python生成時とブラウザ実行時で同じ期待値を確認し、さらに1024pxと375pxでSVG、代替表、入力エラー、横はみ出し、実行時例外を一括検査します。
• 計算は固定名の許可制関数と安全な宣言式ASTだけで行います。eval、new Function、外部API、外部CDN、fetch、XMLHttpRequest、WebSocketを使わず、入力範囲、最終点、最大点数、有限性、収束上限を検査します。
• 次数、x格子、生成した系列は利用者のブラウザ内だけで処理され、サーバーや第三者へ送信または保存されません。WordPress本文、追加CSS、追加JavaScriptで完結するローカル成果物であり、このbuilderは下書き作成、既存記事更新、本番公開を行いません。
• 定義と接続式はNIST Digital Library of Mathematical Functions（DLMF）§10.61、導関数は§10.63、整数次数の級数は§10.65を2026年7月15日に一次資料として照合しました。別資料と比較するときは位相exp(−iνπ/2)、回転角π/4、関数種、x微分を式単位で確認してください。
• −20≤ν≤20、0.0001≤x≤50、最大201点の倍精度実数標本です。原点、複素入力、任意精度は扱いません。

よくある質問