ガンマ分布の確率密度・下側P・上側Q

使い方

1. 非負の評価点x、正の形状母数a、正の尺度母数bを入力します。
2. bがscaleでありrateではないことを確認し、標準化値x/bを意識します。
3. 密度と下側P・上側Qを用途別に読み、P/Qの小さい裾は直接計算された結果を使います。

計算式・考え方

shape–scale型としてf=(x/b)^(a−1)e^(−x/b)/(Γ(a)b)、P=P(a,x/b)、Q=Q(a,x/b)です。密度はlog領域で組み立て、PとQは正規化不完全ガンマ関数を各々直接評価します。

注意事項

• 参照ページのbは尺度母数です。rate λを使う式ではb=1/λなので、rate値をそのままb欄へ入れると分布の伸縮が逆になります。平均a×b、分散a×b²という関係で、使用中のソフトとパラメータ化を照合できます。
• NIST Engineering Statistics HandbookのGamma Distribution節にあるshape γ・scale β・location 0の式と照合しました。本ページはlocationを入力に持たず支持域はx≥0です。位置をずらした3母数Gammaへは使用できません。
• x=0ではa=1の密度は1/b、a>1なら0、0<a<1なら+∞です。無限密度を0や最大有限値で代用せず、a<1かつx=0だけを明示的に拒否します。x>0なら同じaでもlog密度から有限値を計算できます。
• a=1は指数分布、scale=2かつa=ν/2はχ²分布に対応します。これらの関係は実装の検算に使えますが、観測データがGamma分布に従うことや、待ち時間・寿命の予測が妥当であることを保証しません。
• NIST Digital Library of Mathematical Functions（DLMF）8.2節で、正規化不完全ガンマ関数P(a,x)とQ(a,x)、およびP+Q=1を確認しました。8.17節では正規化不完全ベータ関数I_x(a,b)と対称関係I_x(a,b)=1−I_(1−x)(b,a)を確認しています。
• 上側確率Qは、下側確率を計算して1から引く方法に固定していません。χ²・Gammaはregularized_gamma_qを直接呼び、Betaは対称関係の小さい側I_(1−x)(b,a)を直接評価します。Pが倍精度で1へ丸まる極端な右裾でも、表現可能なQを不必要に0へ失わないためです。
• 確率分布の数値は、入力した分布と母数が正しいという条件付きの数学的結果です。データがその分布に適合するか、母数推定にどの程度の誤差があるか、検定で帰無仮説を棄却すべきかを自動判断しません。研究・品質管理・監査では分析計画と使用ソフトの定義を別途確認してください。
• 確率密度f(x)は一点の確率ではありません。連続分布で区間[a,b]へ入る確率は密度をその区間で積分した面積で、一点だけの確率は0です。累積P・Qと密度は単位も用途も異なるため、密度の高さをp値や発生確率として読まず、必要な結果欄と確率方向を先に決めてください。
• 表示は最大15有効桁ですが、最終桁まで数学的真値を保証するものではありません。順方向と逆方向の反復、極端な形状母数、0または1に近い確率では丸め誤差が拡大し得ます。報告書では母数化、P/Qの向き、使用桁数を記録し、必要精度に応じて別実装や高精度ライブラリとも照合してください。
• 計算は許可制ASTと共有runtime 1.7の有界反復だけで端末内実行します。eval、new Function、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocketは使いません。入力値や結果は外部送信・保存されず、WordPressへの書込みや下書き作成も行いません。
• 参照ページ、NIST Engineering Statistics Handbook、DLMFは2026年7月13日に照合しました。本実装はscalarの密度・累積確率・分位点だけを対象とし、値の範囲を走査するグラフ版や一覧表版は説明本文へ縮約せず、このwaveから除外しています。
• 指定分布・母数に基づく数学的結果です。モデル適合、母数推定、検定・監査上の結論を保証しません。

よくある質問