超幾何分布のPMF・累積確率を最大201点でグラフ・表計算

使い方

1. 母集団N、特定要素M、標本数n、表示関数、x格子を入力します。既定はN=100,M=30,n=20,x=0〜13です。
2. 支持域下端と上端を式で確認し、支持域外の点がPMF0、累積端点になることを見ます。
3. 既定値ではx=6付近のPMFが最大で、表のf(6)≈0.214091を検算します。

計算式・考え方

N個中M個が特定要素の母集団から復元せずn個を取り、標本内特定要素数をXとします。f(x)=C(M,x)C(N−M,n−x)/C(N,n)。支持域はmax(0,n−(N−M))≤x≤min(n,M)です。Pは≤x、Qは≥xのinclusive累積です。

注意事項

• SciPy公式scipy.stats.hypergeomの式・支持域・パラメータ順を2026年7月13日に確認しました。SciPyはhypergeom(M,n,N)という別の記号順を使うため、本ページ(N母集団,M特定,n標本)との対応を列名で確認します。inclusive Qはhypergeom.sf(x−1,N,M,n)です。
• 超幾何分布は復元しない抽出を表します。一つ取り出した後に戻さないため、各回の成功確率は少しずつ変わります。独立で同じpを仮定する二項分布とはこの点が異なります。母集団に比べ標本が十分小さい場合に近似することはありますが、本ページは組合せ式を直接使います。
• 支持域下端は0とは限りません。例えばN=100,M=30,n=80では少なくとも10個の特定要素を含みます。x<10はPMF0、P0、Q1です。上端を超えるとPMF0、P1、Q0です。支持域外ではruntime named functionを呼ばないlazy ASTにし、エラーや偽の補間を作りません。
• N=0,n=0,M=0は空の母集団から空標本を取る退化ケースで、x=0に確率1と扱えます。n≤N、M≤Nは入力制約で確認します。組合せ数を整数の巨大値として直接作らずlog Gammaと隣接項の比で安定に累積しますが、グラフ反復のためN≤10,000へ制限します。
• サンプル番号i=0,1,…,点数−1に対してx_i=x初期値+i×増分を作ります。xは回数を表すため初期値と増分を整数に限定し、増分0は拒否します。負の増分なら大きいxから小さいxへ並べられます。点数は1〜201、xと分布パラメータは原則10,000以下へ有界化し、201回の端末内評価が過大にならないようにしています。
• 離散分布は整数点だけに確率があるため、結果は線で結ばずpoints表示にします。点と点の間に確率密度が続くわけではありません。グラフが小さく見える場合も表の確率値が正本です。代替表には全点を載せ、列見出しを保ったTSVとしてコピーできます。累積関数は単調性も表で確認してください。
• このページのQはxを含むP(X≥x)です。したがってP(X≤x)+P(X≥x)=1+P(X=x)、記号ではP(x)+Q(x)=1+f(x)、Q(x)=1−P(x−1)、P(x)+Q(x+1)=1です。連続分布のように同じxでP+Q=1とはなりません。一般的な統計ライブラリのsurvival functionはP(X>x)なので、変数が同じ規約ならinclusive Q(x)との比較はsf(x−1)です。幾何分布のように確率変数自体を1始まりへ写す場合は、そのページ固有の対応を優先してください。
• schema v4のsampled-series-v1と定義所有の許可制ASTを使い、選択したf/P/Qの枝だけを評価します。eval、new Function、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocketは使いません。入力と系列は利用者の端末内だけで処理し、サーバーへ送信・保存しません。WordPressへの書込み、下書き作成、公開も行いません。
• 確率分布の式が正しくても、現実のデータが独立か、同じ確率を持つか、復元抽出か、観測期間が一定かというモデル条件は自動判定できません。グラフの見た目だけで適合性や将来結果を断定せず、確率変数の0始まり/1始まり、パラメータ、支持域、丸め方を計算結果と一緒に記録してください。
• 確率モデルの計算・学習用です。現実の独立性やモデル適合性を保証しません。

よくある質問