第3種不完全楕円積分 Π(x,n,k) 計算

第3種不完全楕円積分 Π(x,n,k) 計算

上端x、特性n、母数kから有限実数の第3種不完全楕円積分を計算し、極を安全に拒否します。

入力

積分上端です。x=sinφに対応する主区間の値として−1≤x≤1を入力します。

第3種の特性です。xに応じて1−nx²>10⁻⁸となる有限な通常積分だけを許可します。

x形式では|k×x|≤1なら実数です。k単独ではなく積k×xを検査します。

使い方

  1. −1≤x≤1、|k×x|≤1、1−nx²>10⁻⁸を満たす値を入力します。既定値はx=0.8、n=0.3、k=0.6です。
  2. 入力条件を確認し、「計算する」を押します。結果欄には楕円積分の無次元値を表示します。
  3. kをparameter mで与えられた資料と比較するときは、m=k²へ換算してから照合します。
  4. 結果をコピーする場合は関数名、入力値、角度単位、確認日も一緒に記録してください。

計算式・考え方

Π(x,n,k)=∫[0,x] dt/{(1−nt²)√((1−t²)(1−k²t²))} を計算します。

注意事項

  • 第3種x形式は第1種の被積分関数へ1/(1−nt²)を加えます。n=0ではF(x,k)へ戻り、x=±1かつ安全なn,kでは符号付きの完全積分へ接続します。
  • 極1−nt²=0を区間内に入れないため1−nx²>10⁻⁸を要求します。xが小さければn>1でも通常積分は有限なので許可し、極へ達する組合せだけを拒否します。|kx|≤1と平方根の二重零点も検査します。
  • 特性を含む変数変換、剛体力学、楕円座標の積分の途中値を検算できます。n、k、xは別の役割を持つため、文献の引数順序Π(n;φ|m)をそのまま並べ替えず入力しないでください。
  • このページの引数順はcanonicalのΠ(x,n,k)です。DLMFのΠ(φ,α²,k)と比べるとx=sinφ、n=α²、mを使う実装ではm=k²です。
  • x=0.8、n=0.3、k=0.6ではΠ=1.05598445761406191でcanonical POSTと一致します。x=0ならnとkにかかわらず積分区間が空なので0です。
  • Π(x,0,k)=F(x,k)、Π(0,n,k)=0、Π(−x,n,k)=−Π(x,n,k)が基本の照合式です。nを正方向へ増やすと分母1−nt²が小さくなって値が増え、nを負にすると抑えられます。単調性が逆ならnの符号や引数順を確認します。
  • 極の有無は終点だけでなく0からxまでの全区間で決まります。t²は0からx²まで増えるため1−nx²>10⁻⁸を判定し、安全な短区間ならn>1も利用できます。研究コードで極をまたぐ主値を使う場合は、この通常積分と直接比較せず採用した主値定義を記録してください。
  • 第3種不完全楕円積分 Π(x,n,k)について: この計算は入力から結果表示までブラウザ内で完結します。外部APIへ入力値を送らず、サーバー側で数値積分を繰り返しません。固定回数上限を持つCarlson対称積分の重複法を使うため、端末の計算資源だけで応答し、通信状態に左右されず検算できます。
  • 第3種不完全楕円積分 Π(x,n,k)について: 記号kはLegendre楕円積分の母数modulusです。SciPyやMATLABなど一部の資料・関数が使うparameter mとはm=k²の関係です。たとえばこのページでk=0.5を指定すると、mを取る関数には0.25を渡します。kとmの取り違えは数値不一致の代表原因です。
  • 第3種不完全楕円積分 Π(x,n,k)について: 数値計算はNIST DLMF §19.25のLegendre積分とCarlsonのRF、RD、RJの関係を用い、§19.36の重複法に沿って差を反復的に縮小します。反復は64回を上限にし、収束しない値を近似値へ黙って置き換えません。式と計算法は2026年7月13日に照合しました。
  • 第3種不完全楕円積分 Π(x,n,k)について: 表示値はJavaScriptのIEEE 754 binary64相当で最大15桁に整形します。特異点へ近づくほど関数値と条件数が大きくなり、入力末尾の小さな差が結果へ強く反映されます。高精度論文や任意精度計算を置き換えるものではなく、通常精度の設計・学習・実装検算向けです。
  • 第3種不完全楕円積分 Π(x,n,k)について: このページは有限な通常の実積分を対象とします。複素数への解析接続、分母の極をまたぐCauchy主値、発散積分へ便宜的な有限値を割り当てる処理は行いません。入力条件を満たさない場合は対象欄を明示して停止するため、結果だけを見て定義域外に気づかない事故を防げます。
  • 第3種不完全楕円積分 Π(x,n,k)について: 楕円積分は単振り子の周期、楕円弧長、電磁気、弾性、確率分布の変数変換などに現れます。ただし実際の物理量へ適用するときは、無次元化、単位、境界条件、採用するkまたはmの規約を元の式で確認してください。この計算値だけで安全率や設計可否を決めないでください。
  • 第3種不完全楕円積分 Π(x,n,k)について: 実際の検算では、まず既定値を計算して表示桁と入力規約を確認し、次にゼロ、符号反転、完全積分へ戻る端点など既知の関係を一つずつ試します。その後で目的の入力を計算し、結果を別のソフトへ渡すときは画面表示を手入力せずコピーボタンを使います。末尾桁の差は二進浮動小数と表示丸めで生じるため、全桁一致だけを合否基準にせず、絶対誤差と相対誤差、特異点からの距離を併記してください。同じ値を再現するには関数の種類、引数順、kかmか、角度単位、使用した桁数を記録します。
  • 有限な通常の実数楕円積分を学習・検算するツールです。Cauchy主値、複素値、任意精度は扱いません。

よくある質問

n>1でも使える場合は？

1−nx²>10⁻⁸を満たし、区間が極へ達しない短区間なら使えます。

n=0では何になりますか？

第1種不完全楕円積分F(x,k)に一致します。

引数の順番は？

このページはx、n、kの順です。ライブラリごとの順番とm/k規約を確認してください。

第3種不完全楕円積分 Π(x,n,k)の入力と結果は利用端末内だけで処理され、外部APIやWordPressへ自動送信しません。ページを閉じた後の履歴保存もこのツール自身は行いません。