逆カイ二乗分布の確率密度・下側P・上側Q

使い方

1. 評価したい非負のxと正の実数自由度νを入力します。x=0は端点として明示的に扱います。
2. 一点の高さf、左側面積P、右側面積Qを別々の結果欄で確認します。
3. 別ソフトと照合するときは、尺度が1/2の逆Gamma分布であることを確認します。

計算式・考え方

a=ν/2、z=1/(2x)とすると、f=x^(−a−1)e^(−z)/(2^aΓ(a))、下側P=Q_gamma(a,z)、上側Q=P_gamma(a,z)です。x=0では遅延分岐でf=0、P=0、Q=1を返します。

注意事項

• このページの逆カイ二乗分布はY=1/Z、Zが自由度νのカイ二乗分布、という変換から得られる尺度1/2の逆Gamma分布です。名称が似たscaled inverse-chi-squareでは尺度にν/2を置く流儀があるため、同じνでも数値が異なります。式の1/(2x)を照合してください。
• 変換x↦1/(2x)は単調減少なのでGamma側の上裾Qが逆カイ二乗側の下側Pになり、Gamma側の下側Pが逆カイ二乗側の上側Qになります。尾の向きを機械的に流用せず、順序反転を式と数値の両方で確認しています。
• SciPy公式リファレンスのinvgammaについて、shape a=ν/2、scale=1/2の対応を照合しました。NIST DLMF 8.2節の正規化不完全Gamma関数P・Qを使い、参照ページ既定値x=1、ν=4の密度・両側累積とも再現します。
• 原点近くではxの負べきが大きくなる一方、e^(−1/(2x))がより速く0へ近づくため密度の極限は0です。式をそのままx=0へ代入すると除算不能になるので、原点は数学的極限を表す専用分岐にしています。
• 下側累積Pと上側累積Qの向きを入力前に確認してください。連続な逆カイ二乗分布ではP=Pr[X≤x]、Q=Pr[X>x]でP+Q=1です。離散な負の二項分布と超幾何分布では参照ページに合わせ、P=Pr[X≤x]、Q=Pr[X≥x]とxを両方へ含めます。このため離散ページではP+Q=1+f(x)であり、Qを単純な1−Pへ置き換えると一点分だけずれます。
• 極端な裾を保つため、上側Qは下側Pを1から引くだけの実装に固定していません。正規化不完全Gamma・Beta関数の適切な側、または支持域の短い側を対数空間で直接計算します。Pが表示上1へ丸まっても、Qに表現可能な小さい正数が残ることがあります。表示値だけからゼロ確率と断定せず、必要なら別の高精度実装とも照合してください。
• 各ページは分布と母数を入力済みとみなす数値計算器です。観測データがその分布に従うか、標本抽出が独立か、復元抽出か非復元抽出か、成功の定義が一貫しているかを自動判定しません。検定、品質保証、監査、研究報告へ使う場合は、確率モデルの選択、母数推定、片側・両側、丸め規則を分析計画と使用ソフトの文書で別途確認してください。
• 計算範囲は有限doubleと有界反復で安全に処理できる値へ限定しています。入力上限は数学的定義域の終端ではありません。反復上限内で解を挟めないpercent-point、有限値で表現できない端点、整数であるべき回数への小数入力は、近似値や暗黙の丸めへ置換せずエラーにします。失敗時は入力範囲と確率方向を見直してください。
• 表示は最大15有効桁です。Lanczos近似、連分数、級数、対数和、二分法の各段階で倍精度の丸めが生じるため、末尾桁まで真値を保証するものではありません。報告書には分布名だけでなく、母数の意味、P/Qの包含規約、入力値、確認日、採用した表示桁数を残すと、他ソフトとの比較で規約差を切り分けやすくなります。
• 計算は許可制ASTと共有runtime 1.8だけでブラウザ内実行します。eval、new Function、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocketを使わず、入力値や結果を送信・保存しません。WordPressへの書込み、下書き作成、公開処理も行いません。ページを閉じれば入力状態は残らないため、必要な結果は利用者自身の管理下で記録してください。
• 参照ページ、NIST Digital Library of Mathematical Functions、NIST資料、SciPy公式リファレンスは2026年7月13日に照合しました。本waveは一組の入力からscalarを返す5ページだけを対象とします。範囲を繰り返し走査するグラフ版や表版は、一結果へ曖昧に縮約せず対象外としています。
• 指定分布・母数に基づく数学的結果です。モデル適合、母数推定、検定・監査上の結論を保証しません。

よくある質問