負の二項分布の確率質量・下側P・上側Q

使い方

1. k回目の成功までに数える失敗回数x、目標成功回数k、各試行の成功確率pを入力します。
2. ちょうどx回失敗する質量f、x以下のP、x以上のQ、平均失敗回数を区別して読みます。
3. 試行の独立性と成功確率が一定というモデル前提を、対象の工程や実験に照らして確認します。

計算式・考え方

Xをk回目の成功までの失敗回数とし、f(x)=C(x+k−1,x)p^k(1−p)^x、P=Σ(t=0..x)f(t)=I_p(k,x+1)、Q=Σ(t=x..∞)f(t)=I_(1−p)(x,k)、E[X]=k(1−p)/pです。

注意事項

• 負の二項分布には成功回数を数える流儀、総試行回数を数える流儀、失敗回数を数える流儀があります。本ページは参照ページとSciPy公式リファレンスのnbinomに合わせ、k回目の成功までの失敗数Xを0,1,2,…で数えます。総試行回数が必要ならX+kです。
• 上側QはX≥xを含みます。SciPyの通常のsf(x)はPr[X>x]なので、本ページのQと照合するときはsf(x−1)に相当します。PとQの両方にxの質量が含まれるためP+Q−f(x)=1です。バグに見えやすい差ですが、参照式の包含規約どおりです。
• NIST DLMF 8.17節の不完全Beta関数とSciPy nbinomの確率質量式・母数化を照合しました。直接和を無制限に続けず、CDFとinclusive上側尾を対称なBeta関数として計算するため、平均から遠い裾でも1−丸め済みCDFによる消失を避けます。
• p=1では最初のk試行がすべて成功し、失敗回数は必ず0です。そのためx=0ではf=P=Q=1、x>0ではf=Q=0、P=1、平均0です。p=0ではk回目の成功へ到達せず有限な失敗回数分布にならないため、このページでは受け付けません。
• 下側累積Pと上側累積Qの向きを入力前に確認してください。連続な逆カイ二乗分布ではP=Pr[X≤x]、Q=Pr[X>x]でP+Q=1です。離散な負の二項分布と超幾何分布では参照ページに合わせ、P=Pr[X≤x]、Q=Pr[X≥x]とxを両方へ含めます。このため離散ページではP+Q=1+f(x)であり、Qを単純な1−Pへ置き換えると一点分だけずれます。
• 極端な裾を保つため、上側Qは下側Pを1から引くだけの実装に固定していません。正規化不完全Gamma・Beta関数の適切な側、または支持域の短い側を対数空間で直接計算します。Pが表示上1へ丸まっても、Qに表現可能な小さい正数が残ることがあります。表示値だけからゼロ確率と断定せず、必要なら別の高精度実装とも照合してください。
• 各ページは分布と母数を入力済みとみなす数値計算器です。観測データがその分布に従うか、標本抽出が独立か、復元抽出か非復元抽出か、成功の定義が一貫しているかを自動判定しません。検定、品質保証、監査、研究報告へ使う場合は、確率モデルの選択、母数推定、片側・両側、丸め規則を分析計画と使用ソフトの文書で別途確認してください。
• 計算範囲は有限doubleと有界反復で安全に処理できる値へ限定しています。入力上限は数学的定義域の終端ではありません。反復上限内で解を挟めないpercent-point、有限値で表現できない端点、整数であるべき回数への小数入力は、近似値や暗黙の丸めへ置換せずエラーにします。失敗時は入力範囲と確率方向を見直してください。
• 表示は最大15有効桁です。Lanczos近似、連分数、級数、対数和、二分法の各段階で倍精度の丸めが生じるため、末尾桁まで真値を保証するものではありません。報告書には分布名だけでなく、母数の意味、P/Qの包含規約、入力値、確認日、採用した表示桁数を残すと、他ソフトとの比較で規約差を切り分けやすくなります。
• 計算は許可制ASTと共有runtime 1.8だけでブラウザ内実行します。eval、new Function、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocketを使わず、入力値や結果を送信・保存しません。WordPressへの書込み、下書き作成、公開処理も行いません。ページを閉じれば入力状態は残らないため、必要な結果は利用者自身の管理下で記録してください。
• 参照ページ、NIST Digital Library of Mathematical Functions、NIST資料、SciPy公式リファレンスは2026年7月13日に照合しました。本waveは一組の入力からscalarを返す5ページだけを対象とします。範囲を繰り返し走査するグラフ版や表版は、一結果へ曖昧に縮約せず対象外としています。
• 指定分布・母数に基づく数学的結果です。モデル適合、母数推定、検定・監査上の結論を保証しません。

よくある質問