複素ハンケル関数Hν^(1)・Hν^(2)と導関数の計算

複素ハンケル関数Hν^(1)・Hν^(2)と導関数の計算

実数次数νと複素引数zから、第1種・第2種Hankel関数と各z導関数を4行の複素結果表で計算します。

入力

−20以上20以下の有限実数です。複素次数は扱いません。

−50以上50以下です。実数引数にする場合も虚部欄へ0を入力します。

−50以上50以下です。負実軸の下側は0でない小さな負値で指定します。

使い方

  1. 実数次数νと複素引数zの実部・虚部を入力し、計算buttonを押します。
  2. Hν^(1)、そのz導関数、Hν^(2)、そのz導関数を4行で確認します。
  3. 各行のRe、Im、絶対値、主偏角radを読み、波の規約と一緒に結果を保存します。
  4. 外向き・内向きの解釈は時間因子の符号で変わるため、ツールの第1種・第2種だけから自動判定しません。

計算式・考え方

Hν^(1)=Jν+iYν、Hν^(2)=Jν−iYνという第3種Bessel関数と、その複素引数zによる一次導関数を計算します。高dynamic sectorではrecessive解を失わない独立解析接続を使います。

注意事項

  • 数学上はHν^(1)=Jν+iYν、Hν^(2)=Jν−iYνです。ところが複素平面の一部ではJとYがともに巨大で、その差だけが小さい場合があります。二つを別々に丸めてから差を取るとrecessiveなHankel成分を失うため、数値coreは必要なsectorでHankelを直接解析接続します。
  • 正の実引数と実数次数ではH^(1)とH^(2)が互いに複素共役になります。一般の複素引数ではこの関係は成立しないため、片方だけを計算して共役で他方を補完せず、両方のReとImを独立に結果表へ保持します。
  • Hankelのプライムも複素引数zによる微分です。H′ν=H_(ν−1)−νHν/z=−H_(ν+1)+νHν/zをDLMFの隣接次数式と照合し、値と導関数のWronskianが同じbranch上で整合するかを確認します。
  • 波動問題では第1種を外向き、第2種を内向きと呼ぶ説明がありますが、それはexp(−iωt)など採用した時間依存の規約を伴います。時間因子を反対にすれば解釈も入れ替わり得るため、このページは物理的な放射条件を自動選択しません。
  • 負の実軸はprincipal branchのcutです。実部が負で虚部が0なら上側境界値を返し、下側極限を調べたい場合は小さい負の虚部を明示します。−0をbranch指定に使わず、入力値と上下の別を結果記録へ残します。
  • Hankel関数Hν^(1), Hν^(2)とStruve関数Hνは記号Hが似ていますが別の関数です。Struveは非同次Bessel方程式の特解で、このページが返すのはJ±iYで定義される第3種Bessel関数だけです。
  • 検索意図は『ハンケル関数 計算』『Hankel H1 H2』『ハンケル関数 複素数』『ハンケル関数 導関数』を中心にします。グラフ、零点、境界条件の解法、Mie散乱全体を提供するページとは説明しません。
  • Wronskian H1(H2)′−(H1)′H2=−4i/(πz)を検算し、well-conditionedな点ではJ±iYとの一致も確認します。高dynamic sectorでは線形結合の丸め差ではなく、独立高精度oracleを優先して数値経路を監査します。
  • 共通安全域は有限実数次数−20≤ν≤20、有限複素引数1e−4≤|z|≤50です。実部と虚部が個別に±50以内でも、40+40iのように絶対値が50を超える点は計算しません。第2種を同時に返すためz=0も全ページ共通で除外します。
  • 負の実軸ちょうどはarg(z)=+πの上側principal valueとして固定します。下側境界値はIm(z)<0の別入力です。入力欄で−0を保持できることに依存せず、上下を比較するときは0でない小さな虚部と採用側を記録してください。
  • 結果表はquantity、実部、虚部、絶対値、主偏角radの5列です。複素値を整形文字列だけへ変換せずReとImを数値として保持し、同じ内部値からhypotとatan2を求めます。厳密な0の偏角は未定義としてダッシュ表示します。
  • 表示はIEEE 754 binary64を基礎とする最大15有効桁です。最大15桁を表示できることは15桁すべての正しさを保証しません。整数次数直近、零点近傍、巨大成分の相殺、overflow・underflow近傍では有効桁が減ります。
  • 数値coreは正実軸の監査済み実数値をanchorにし、複素平面では微分方程式を有界なDormand–Prince 5(4)で解析接続します。最大8192 stepで目標へ達しない点、非有限入力、非有限結果は推測値を出さず入力エラーにします。
  • これはNetlib AMOSの移植でも、全複素平面を保証する任意精度libraryでもありません。AMOSの有限性、branch、overflow、作業上限の考え方を照合した、指定安全域のunscaled scalar実装です。広い領域やscale値が必要なら別手段を使います。
  • 入力は利用者のブラウザ内だけで評価され、サーバーや第三者へ送信・保存されません。外部API、CDN、fetch、XMLHttpRequest、WebSocket、位置情報、現在時刻、localStorageを必要とせず、1回の操作で1点だけを計算します。
  • 一次資料は2026年7月15日にNIST DLMF第10章とNetlib AMOSを照合しました。確認URL: https://dlmf.nist.gov/10.2 , https://dlmf.nist.gov/10.6 , https://dlmf.nist.gov/10.11 , https://dlmf.nist.gov/10.25 , https://dlmf.nist.gov/10.29 , https://dlmf.nist.gov/10.47 , https://dlmf.nist.gov/10.51 , https://netlib.org/amos/
  • 同じBesselという名前でも通常型、Hankel、球型、変形型では微分方程式、次数shift、平方根係数、branch、正規化が違います。外部libraryや論文と比較するときは関数記号だけでなく、ν、z、定義式、scale、偏角規約を揃えます。
  • 計算結果は公式定義の学習と代表値の検算を補助します。研究、設計、規格適合の最終値として使う場合は、独立した高精度実装、残差、Wronskian、隣接次数式を組み合わせ、入力と出典の版を再現できる形で保存してください。
  • 表をコピーするときはquantity列を削らず、関数値と導関数、第一種と第二種を区別したまま保存します。絶対値だけでは位相を復元できず、偏角だけでは大きさを復元できません。ReとImを正本として残し、丸め後の表示値から高精度な元値を再構成できるとは考えないでください。
  • 同じ入力を別の計算環境で比較する場合は、実数次数か整数次数か、負実軸の上側か下側か、引数の単位と無次元化、導関数がzによるものかを先に揃えます。数値が一定係数や複素共役だけずれる場合は、誤差と決める前に正規化とbranch規約を式で確認してください。
  • 指定した有界領域のbinary64主値です。任意精度、全複素平面、scaled値、零点保証、物理的な境界条件の判定は行いません。

よくある質問

第1種と第2種の違いは何ですか？

Jνに加えるiYνの符号が反対で、H1=J+iY、H2=J−iYです。

どちらが外向き波ですか？

採用する時間依存と位相規約を併記して判断してください。この計算機は放射条件を自動決定しません。

複素zでもH1とH2は共役ですか？

一般には共役ではありません。正の実引数など共役が成立する条件だけで使える関係です。

Struve関数Hと同じですか？

異なります。このページは第3種Bessel関数であるHankel H1・H2を扱います。

入力した次数と複素引数は端末内だけで処理され、外部へ送信・保存されません。計算結果も利用者がコピーしない限り永続化しません。